В равногранном тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что получившийся многогранник прямоугольный параллелепипед.
Обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра за 
и 
Тог да основания медиан задаются формулой 
и аналогичными ей, а середины медиан формулой
и аналогичными ей.
Вы читая один радиус-вектор из другого, получаем векторы рёбер получившегося многогранника
и аналогичные ему. При этом каждый такой вектор мы получаем два раза, т. е. всего 6 различных векторов. Кроме того, вместо с вектором
мы также получаем и противоположный ему вектор
который ему коллинеарен. Таким образом, мы уже доказали, что наш многогранник параллелепипед.
Умножив длины всех векторов на 6, понимаем, что нам достаточно доказать взаимную перпендикулярность трёх векторов:
и 
Рассмотрим первые два вектора. Введём дополнительные обозначения 
и 
Тогда нам нужно доказать, что 
то есть, что скалярное произведение этих векторов равно 0. Их скалярное произведение это 
а равенство его нулю равносильно равенству 
и 
то есть равенству длин 
и 
Но это равенство означает, что два противоположных ребра тетраэдра равны, что следует из равногранности тетраэдра. Перпендикулярность остальных пар векторов доказывается аналогично.