Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если R : r = 2 : 1.
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что отрезок NM перпендикулярен OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда 
откуда 
—
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что 
Даны две правильные четырехугольные пирамиды с плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите отношение R к r.
Заметим, что 
Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны. 
Тогда по теореме косинусов 
Их удалось разместить так, что все пирамиды имеют общее боковое ребро и общую вершину. Найдите максимальное значение стороны основания пирамид.
Поскольку эти углы не налегают друг на друга, мы получим 
откуда 
Выразим объем пирамиды. Пусть SD — апофема пирамиды, SO — ее высота. Тогда 
возрастает на [−1, 1), мы получаем 
и 
Равенство реализуется, если 
то есть в случае, когда между пирамидами нет зазоров.Из металла отлито m одинаковых правильных пирамид (
). Их удалось склеить так, что у них есть общее ребро и каждая пирамида имеет общую боковую грань ровно с двумя из остальных. Найдите минимальное значение плоского угла при вершине пирамид.
мы получаем 
где 
Тогда 
и 
реализуется при 
и 
В этом случае 
Даны две правильные треугольные пирамиды с вершиной S и плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. Конус с вершиной S касается внешним образом обеих пирамид. Найдите максимально возможный угол при вершине конуса, при котором это возможно. (Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении).
Кроме того, плоскость A1MA2 перпендикулярна граням A1SB и A2SB. Конус касается этих граней, поэтому можно выбрать точки K на A1M и N на A2M так, что SK и SN — образующие конуса.
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника A1MC: 
Тогда 
получаем
Два шара касаются внешним образом друг друга и всех конусов. Найдите отношения радиусов шаров (большего к меньшему).
Этот угол одинаков для всех конусов, поскольку 
Значит, луч OP образует угол 
с осями симметрии всех конусов. Аналогично доказывается, что на этом луче лежит и точка Q
Поэтому 
мы получим 
откуда 
и 
Тогда 
Четыре конуса с общей вершиной попарно касаются друг друга внешним образом. Первые два и последние два конуса имеют одинаковый угол при вершине. Найдите максимальный угол между осями симметрии первого и третьего конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
П. Поскольку 
и 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна BOH и 
так как первый и третий конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды ОВBH формулу трех косинусов, мы получим 
или 
Кроме того, четвертый конус касается первых двух. Тогда 
и 
и 
Равенство реализуется в случае 
Три конуса с общей вершиной O касаются друг друга внешним образом. Первые два конуса имеют угол при вершине 
ось симметрии третьего конус перпендикулярна осям симметрии первых двух. Еще один конус с вершиной O касается внешним образом трех других. Найдите его угол при вершине. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
2β 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна COH и 
так как первый и четвертый конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды OACH формулу трех косинусов, мы получим 
Кроме того, 
поскольку третий и четвертый конус касаются друг друга. Тогда по формуле трех косинусов для пирамиды ОABH:
откуда 
то есть 
На столе лежат три конуса с общей вершиной, касаясь друг друга внешним образом. Оси симметрии первых двух конусов взаимно перпендикулярны. Два шара вписаны в третий конус и касаются друг друга внешним образом. Найдите максимальное отношение радиусов большего и меньшего шаров.
Аналогичным образом 
Поэтому 
и 
По условию 
Значит, 
и 
то есть 
Поскольку 
треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора 
а равенство реализуется при 
Отсюда вытекает, что макси мальное Зн ачение 
равно 
На столе лежат два конуса с общей вершиной O, касаясь друг друга внешним образом. Угол между их осями симметрии 
и 
Пусть 
Поскольку нам нужен меньший из двух возможных третьих конусов, луч ОC лежит внутри угла AOB. Тогда (см. верхний рисунок) 
мы получим 
По условию 
откуда 
Числа 
и 
являются корнями квадратного уравнения 
при этом 
Найдите периметр треугольника ABC.
Пусть O — точка пересечения MB и CH, тогда 
Обозначим 
тогда 
поэтому 
Следовательно, треугольник и 
и 
подобны по двум углам. Из подобия получаем 
Подставляя это в формулу 
и сокращая на 
Следовательно, треугольник ABC равносторонний.В двугранный угол вписаны два шара так-то они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в 2 раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол 45° с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаком после запятой.
—
Тогда (см. рис.)
находим 
и 
получаем 
В двугранный угол вписаны два шара так-то они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в 3 раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол 60° с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаком после запятой.
—
—
Тогда 
и
это уравнение имеет два решения 
Значит, возможны два случая, в одном из которых объём шара равен 
или 
В усеченной пирамиде A1B1C1ABC ребро AA1 перпендикулярно плоскости большего основания ABC, AB = AC = 5, BC = 6 и 
где D и D1 — середины отрезков BC и B1C1соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар. Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.
Тогда шар, вписанный в усечённую пирамиду, также вписан и в пирамиду SABC. Поэтому 
то 
опустим перпендикуляр 
на плоскость основания ABC (нижний. рис.). Обозначим 
Из 
следует, что 
находим 
или 
Искомое произведение равно 
В усеченной пирамиде A1B1C1ABC ребро AA1 перпендикулярно плоскости большего основания ABC, AB = AC = 10, BC = 12 и 
где D и D1 — середины отрезков BC и B1C1соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар. Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.
и 
и 
Имеем 
По теореме Пифагора 
По теореме Пифагора 
Две смежные грани тетраэдра, представляющие собой правильные треугольники со стороной 1, образуют двугранный угол 60 градусов. Тетраэдр поворачивается вокруг общего ребра этих граней. Найти наибольшую площадь проекции вращающегося тетраэдра на плоскость, содержащую данное ребро.
площадь проекции равна 
площадь проекции равна 
при 
Максимум функции в рассматриваемом интервале достигается при 
площадь проекции равна 
площадь 