Из металла отлито m одинаковых правильных пирамид (
). Их удалось склеить так, что у них есть общее ребро и каждая пирамида имеет общую боковую грань ровно с двумя из остальных. Найдите минимальное значение плоского угла при вершине пирамид.
Пусть S — общая вершина пирамид, a — сторона их основания, α плоский угол при вершине, 
—
мы получаем 
где 
Тогда
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку K, причем 
так как треугольники ASB и BSC равны. По теореме косинусов
Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной общему ребру пирамид. В сечении каждой пирамиды окажется 
и
Заметим, что с увеличением m или n правая часть растет, а угол α уменьшается. При этом должно выполняться условие
Такое возможно, если одно из чисел m и n равно 3, а другое не превосходит 5. Тогда максимальное значение 
реализуется при 
и 
В этом случае
Ответ: 