Даны две правильные треугольные пирамиды с вершиной S и плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. Конус с вершиной S касается внешним образом обеих пирамид. Найдите максимально возможный угол при вершине конуса, при котором это возможно. (Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении).
Пусть BSC — общая боковая грань пирамид, A1SB и A2SB — их боковые грани, касающиеся конуса, ℓ — ось симметрии конуса, 2ψ — угол при его вершине. Так как боковые грани пирамид одинаковы, перпендикуляры, опущенные из точек A1, A2 и C на BS, придут в одну точку M. Отсюда, в частности, вытекает, что
Кроме того, плоскость A1MA2 перпендикулярна граням A1SB и A2SB. Конус касается этих граней, поэтому можно выбрать точки K на A1M и N на A2M так, что SK и SN — образующие конуса.
Пусть O — точка пересечения ℓ с плоскостью A1MA2. Докажем, что отрезок OK перпендикулярен плоскости A1MS. Впишем в конус шар, содержащий точку K. Он касается плоскости A1MS, так как лежит по одну сторону от нее. Тогда радиус шара, проходящий через точку K, перпендикулярен A1MS. Значит, он лежит в плоскости A1MA2, а центр шара принадлежит ℓ.
Пусть 
—
и 
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника A1MC:
Так как точка C лежит в плоскости KMN и
мы получаем
и
Положим 
Тогда
Значит, угол ψ возрастает с ростом β, а максимальное значение β есть α. В случае 
получаем
Ответ: 