Три конуса с общей вершиной O касаются друг друга внешним образом. Первые два конуса имеют угол при вершине ось симметрии третьего конус перпендикулярна осям симметрии первых двух. Еще один конус с вершиной O касается внешним образом трех других. Найдите его угол при вершине. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть 2β
Отметим на осях симметрии третьего и четвертого конусов точки B и C соответственно. Покажем, что лучи OB и OC лежат в плоскости П, состоящей из точек, равноудаленных от A и A′. Ясно, что П. Поскольку
треугольники AOB и A′OB; равны, откуда и Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Положим Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна COH и так как первый и четвертый конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды OACH формулу трех косинусов, мы получим
По условию оси симметрии первого и третьего конусов перпендикулярны, то есть Кроме того, поскольку третий и четвертый конус касаются друг друга. Тогда по формуле трех косинусов для пирамиды ОABH:
Возможны два случая:
1) откуда
2) то есть
Таким образом,
Поэтому из (*) мы получаем
Ответ: