Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 7 : 2. Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что TC : MT = 6 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
Пусть 
Тогда из треугольника BPM получаем, что 
а из треугольника 
откуда 
В углы A и B треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O1 и O2 равного радиуса, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны AB в точках K1, K2 и K соответственно, при этом AK1 = 4, BK2 = 6,
а) Найдите длину отрезка AK.
б) Пусть окружность с центром O1 касается стороны AC в точке K3. Найдите угол CAB, если известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника OK1K3.
и 
являются биссектрисами углов A и B треугольника, поэтому они пересекаются в точке O — центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O1 и O2 через r, а радиус вписанной окружности через R. Треугольники ОKВ и 
подобны, коэффициент подобия равен 
поэтому 
Аналогично 
откуда 
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на отрезок 
Тогда 
В углы B и C треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O1 и O2 равного радиуса, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны BC в точках K1, K2 и K соответственно, при этом BK1 = 4, CK2 = 8, BC = 18.
а) Найдите длину отрезка CK.
б) Пусть окружность с центром O1 касается стороны AB в точке K3. Найдите угол ABC, если известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника OK1K3.
и 
являются биссектрисами углов C и B треугольника, поэтому они пересекаются в точке O — центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O1 и O2 через r, а радиус вписанной окружности через R. Треугольники ОКВ и 
подобны, коэффициент подобия равен 
Аналогично 
откуда 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Пусть 
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника ВOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки O, O2 и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
б) 
или 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности и равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности если 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
являются биссектрисами углов ABC и ADC (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов ABC и ADC равна 
и 
—
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC, поэтому высота 
этого треугольника также является его медианой. Точки O, O1 и K лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
Вместе с тем дуга BC равна углу BOC, а 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
Пусть 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
Пусть 
получаем, что 
и 
то 
поэтому 
Заметим, что 
поэтому 
1.4 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной более 2.
Развернуть
(например, заметив, что это 
получим что длина ежей не менее 2.
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 2.4 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 2.
Развернуть
а их углы с одной из диагоналей — ϕi. Получаем два неравенства: 
получим то, что нужно.На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 1, 4 и 4, углы при 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). На стол положили шар, касающийся всех конусов. Найдите радиус шара.
точка касания шара со столом, 2α и 2β — углы при вершине первого и второго конусов. На верхнем рисунке показано сечение первого конуса плоскостью COO1, Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр OE, опущенный из точки O на образующую PB, равен R. Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через образующую PB перпендикулярно сечению, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому шар касается прямых BC и BE в точках C и E, откуда 
и
и 
или 
Необходимо, чтобы шар касался образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это означает, что 
и 
Первое условие эквивалентно 
Второе условие приводится к неравенству 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований
и 
треугольник O1O2O3 является прямоугольным. В силу условия точка C равноудалена от точек касания оснований конусов. Тогда C лежит на пересечении биссектрис треугольника O1O2O3 и, значит, является центром его вписанной окружности, радиус которой равен 1. Вычисляя 
и 
двумя способами, мы получим 
B силу равенства высот конусов справедливо соотношение 
Поэтому 
Исключая 
мы получим 
с центром в точке I вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Биссектрисы треугольника ADE пересекаются в точке J. Отрезки BJ и CJ пересекают отрезок DE в точках P и Q соответственно.
и расписать в прямоугольном треугольнике ADI длины 
через 
и 
Тогда:
т. е. IJ = IE = ID (кстати, подсчет углов тоже дает, что, например, треугольник IDJ равнобедренный). В условиях этого пункта треугольник IDE правильный. Так, искомый угол:
(последнее неравенство следует из того, что 
— внешний). Против большего угла лежит большая сторона.
и 
Тогда, 
(кстати, подсчет углов тоже дает, что, например, треугольник IDJ равнобедренный). В условиях этого пункта треугольник IDE правильный, отсюда 
(последнее неравенство следует из того, что 
откуда 
и 
Заметим, что 
и по теореме Пифагора 
На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Из условия касания шаров 
и
откуда 
попадает на отрезок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда 
Отметим несколько простых фактов. 
Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O1O2, мы получим 
На столе лежат два шара радиусов 4 и 1 с центрами O1 и O2, касаясь друг друг внешним образом. Конус касается боковой поверхностью стола и обоих шаров (внешним образом). Вершина C конуса находится на отрезке, соединяющем точки касания шаров со столом. Известно, что лучи CO1 и CO2 образуют равные углы со столом. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Заметим, что точки O1, O2, A1, A2, C лежат в одной плоскости, поскольку O1A1 и O2A2 параллельны, а C принадлежит отрезку A1A2. Тогда 
Отметим несколько простых фактов. 
откуда 
Поэтому 
