Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
или 
два, если 
и три корня, если 
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
тогда 
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
тогда 
и уравнение примет вид
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
получим
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
При 
получаем 
функция 
Значит, подходят все 
где 
решим
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
или 
или 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
и x — корень уравнения 
и получить площадь 
— площадь трапеции.Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с диаметром 13 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 12. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
и 
как стороны ромба. Так как EK — диаметр, то 
и
Тогда 
находим, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
(как стороны ромба). Так как EK — диаметр, 
Тогда 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с радиусом 17 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 8. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
(как стороны ромба). Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
—
который по условию равен 
поэтому 
Тогда площадь треугольника 
равна 
Углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
Значит, 
— равносторонни и найдена его площадь — 1 балл.
— 3 балла.В треугольнике ABC известно, что AB = 4, AC = 6, угол BAC = 60°. Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
равна 
Найдите высоту трапеции, если длина 
где Q — середина большего основания.
(по условию). Пусть точка О — точка пересечения диагоналей, точка H — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH — искомая высота. 
—
тогда искомая высота 
Найдите высоту трапеции, если длина 
где Q — середина большего основания.
(по условию). Пусть точка О — точка пересечения диагоналей, точка H — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH — искомая высота. 
— внешний угол в равнобедренном треугольнике 
тогда искомая высота 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
б) Найдите радиус окружности и длину стороны AB.
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
и 
Отметим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
равен 
а угол между касательной и BC 
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Torда 
и 
равно 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной относятся как 9 : 25.
а) Найдите отношение расстояний от точки A до прямых l и BC.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой l и радиус окружности 
Тогда 
и 
Расстояние от точки A до прямой 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника NPQ с основанием NQ описана окружность 
Точка F — середина дуги PN, не содержащей точки Q. Известно, что расстояния от точки F до прямых PN и QN, равны соответственно 5 и 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника NPQ.
FD — перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую NQ, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую FD. Обозначим радиус окружности через R, угол NPH через 
Тогда 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT с основанием KT описана окружность Точка M — середина дуги FT, не содержащей точки K. Известно, что расстояния от точки M до прямых KT и FT, равны соответственно 
и 1. Найдите радиус окружности и площадь треугольника FKT.
MQ — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую KT, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую MQ. Обозначим радиус окружности через R, угол TFH через 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
получим: 
и 
в квадрат и складывая, получаем уравнение 
что не уменьшает общности). 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около
треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов BAD и BCD (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов BAD и BCD равна 
поэтому сумма их половин — углов 
и 
— равна 
Пусть 
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки 
и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
б) 
или 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности и равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности если BK = 
DT = 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов ABC и ADC (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов ABC и ADC равна 180°, поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника 
поэтому высота 
этого треугольника также является его медианой. Точки O, O1 и K лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
Вместе с тем дуга 
должна быть меньше дуги 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 5 : 2. Биссектриса данного треугольника BL и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что FC : MF = 4 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
общая высота, проведённая из вершины A, то 
Пусть 
Тогда из треугольника 
получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
