Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния от некоторой внутренней его точки до вершин равны a, b и c.
Обозначив искомую сторону через x, данную точку через O и угол BAO через α, из треугольника AOB найдем:
Откуда:
Таким же путем из треугольника AOC найдем:
или
Делая сюда подстановку выражения для получим:
Возводя выражения для и в квадрат и складывая, получаем уравнение
которое после упрощений представляется в виде
Решив это уравнение, получим:
(в предположении, что что не уменьшает общности).
Для действительности корней необходимо:
откуда:
то есть отрезки a, b и c должны быть заданы такими, чтобы из них можно было построить треугольник.
Ответ: