На столе лежат три конуса с общей вершиной, касаясь друг друга внешним образом. Оси симметрии первых двух конусов взаимно перпендикулярны. Два шара вписаны в третий конус и касаются друг друга внешним образом. Найдите максимальное отношение радиусов большего и меньшего шаров.
Пусть 2α, 2β, 2γ — углы при вершине кону сов. Отложим единичные отрезки ОA, ОВ, OC на лежащих в плоскости стола образующих кону сов. Пусть O1 и O2 — точки н а осях симметрии первых двух конусов, проекциями которых на стол являются точки A и B, ОD — единичный отрезок на общей образующей этих конусов. Треугольники ОO1A и OO1D равны по двум сторонам и углу, откуда отрезок DO1 перпендикулярен высоте DO и Аналогичным образом Поэтому
Применяя те же рассуждения к двум другим парам конусов, мы получим и По условию Значит, и то есть Поскольку треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора
Значит, а равенство реализуется при Отсюда вытекает, что макси мальное Зн ачение равно
Пусть r и R — радиусы меньшего и большего шаров. Поскольку шары вписаны в третий конус, мы получим
Равенство реализуется при
Ответ: