Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
Обозначим одну из шестиугольных пирамид через SABCDEF, где S — вершина. По условию все пирамиды имеют общее боковое ребро (предположим, что это BS). Пусть
и ψ — углы между боковыми гранями соответственно шестиугольной и треугольной пирамид. Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной ребру BS. В сечении получатся три плоских угла, равных углам между боковыми гранями пирамид, то есть 
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
Найдем углы и ψ. Пусть 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны.
Заметим, что треугольник OAB правильный, а AC — его удвоенная высота, то есть 
Тогда по теореме косинусов
Аналогичные вычисления для треугольной пирамиды дают
Поэтому
откуда 
Ответ: 