Всего: 14 1–14
Добавить в вариант
Даны числа Найдите максимальное значение выражения
Воспользуемся неравенством
при Тогда с учетом неравенства Коши для средних
откуда Равенство реализуется при
Ответ:
Приведем друге решение.
Заметим, что для любого t:
В силу неравенства Коши для средних
Применим эту оценку при и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда
откуда Равенство реализуется при
Числа x, y, z — углы треугольника, причем больший угол z не превосходит Найдите максимальное значение выражения
В силу неравенства Коши для средних
Положим
Заметим, что Если то заменим y на При этом увеличатся и а значит, и B. Поэтому максимум B достигается при В этом случае
Таким образом, Равенство реализуется при и
Ответ:
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению то есть отсюда Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: и
Ответ:
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению то есть отсюда Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: и где
Ответ:
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению: отсюда или Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения:
Ответ:
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению
Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: где
Ответ:
Решите уравнение
Левая часть уравнения при помощи введения вспомогательного угла приводится к виду Значит, она не превосходит 5. Для правой части в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (для положительных чисел) будем иметь:
Ответ: нет корней.
Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Символы-баллы | Правильность (ошибочность) решения |
---|---|
+25 | Полное верное решение |
+20 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
±16 | Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
+/2 13 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка. |
±10 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
−5 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения. |
0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
0 | Решение отсутствует (участник не приступал). |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ будет соответствовать 17 баллам.
Сколько пар чисел (x; y), и удовлетворяют системе
Найти значения первой координаты x таких решений
Перепишем систему
в виде
Из того что правые части этой системы неотрицательны, следует что и
Возводим оба уравнения полученной системы в квадрат
и складываем. В результате получим
или
Используя формулу дополнительного аргумента, перепишем это уравнение в виде:
Отсюда находим
Вычислим и для
Аналогично, вычислим и для
В обоих случаях условия и выполнены.
Первый случай:
Тогда а В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию и удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.
Второй случай:
Тогда a В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию и удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.
Всего получаем 8 решений. Выпишем значения первой координаты x таких решений:
Ответ: 4 пары; значение первой координаты:
Решите неравенство
Справедливо
Решением уравнения
являются точки
Отметив эти точки на тригонометрической окружности и применив метод интервалов, получаем ответ
Ответ:
Решите уравнение
Преобразуем уравнение
Если то подставляя в уравнение, получим чего быть не может. Разделим на
Сделаем замену
следовательно,
Ответ:
Найдите наименьшее значение функции
В силу неравенства имеем
Достигается при
Ответ:
Сумма синусов пяти углов из промежутка равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
Заметим, что
Аргумент синуса принимает значения от до значит,
Следовательно, а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
Осталось привести примеры: значение 2 достигается, когда три угла принимают значения 0, другие 2 — значение Значение 4 достигается, когда все углы имеют синусы, равные и косинусы, равные
Ответ: 2 — наименьшее значение и 4 — наибольшее.
По 0,5 балла за верные оценку и пример для минимума и максимума.
Сумма синусов пяти углов из промежутка равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
Заметим, что
Аргумент синуса принимает значения от до значит,
Следовательно, а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
Осталось привести примеры: значение 2 достигается, когда три угла принимают значения 0, другие 2 — значение Значение 4 достигается, когда все углы имеют синусы, равные и косинусы равные
Ответ: 2; 4 ИЛИ 4; 2.
Решите уравнение
Для данного равенства возможны два случая.
1. Если при этом
2. Если Поскольку
то в этом случае решений нет.
Ответ:
Содержание критерия | Оценка | Баллы |
---|---|---|
Задача решена полностью | + | 10 |
Задача в основном решена, необходимые неравенства указаны, но не доказаны | +/- | 8 |
Ход решений верный, но при выписывании корней допущены ошибки | -/+ | 4 |
C самого начала (и до конца решения) рассматривался только один из двух возможных случаев | -/. | 2 |
Наверх