РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7682 Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

В силу неравенства $a плюс b больше или равно 2 корень из: начало аргумента: a b конец аргумента$ имеем

$2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x конец аргумента 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x плюс косинус x конец аргумента правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус x правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x конец аргумента 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x плюс косинус x конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус x правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x конец аргумента 2 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка синус x плюс косинус x конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус x правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка =$
$=2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Достигается при

$синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 1 равносильно x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .$

Ответ: $2 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 этап (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Минимаксные задачи без производной, Алгебра. Неравенства со средними, Методы тригонометрии. Введение вспомогательного угла

Спрятать решение · Помощь