сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сколь­ко пар чисел (x; y), 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 4 Пи и  минус 2 Пи мень­ше или равно y мень­ше или равно 2 Пи удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс синус y=1, синус x плюс ко­си­нус y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . конец си­сте­мы .

Найти зна­че­ния пер­вой ко­ор­ди­на­ты x таких ре­ше­ний

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс синус y=1, синус x плюс ко­си­нус y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , конец си­сте­мы .

в виде

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус y=1 минус ко­си­нус x, ко­си­нус y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус синус x. конец си­сте­мы . .

Из того что пра­вые части этой си­сте­мы не­от­ри­ца­тель­ны, сле­ду­ет что  синус y боль­ше или равно 0 и  ко­си­нус y боль­ше или равно 0.

Воз­во­дим оба урав­не­ния по­лу­чен­ной си­сте­мы в квад­рат

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус в квад­ра­те y= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , синус в квад­ра­те y= левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец си­сте­мы . .

и скла­ды­ва­ем. В ре­зуль­та­те по­лу­чим

1=3 минус 2 ко­си­нус x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x плюс 1

или

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ис­поль­зуя фор­му­лу до­пол­ни­тель­но­го ар­гу­мен­та, пе­ре­пи­шем это урав­не­ние в виде:

 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да на­хо­дим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . синус x боль­ше или равно 0, ко­си­нус x боль­ше или равно 0, n, k при­над­ле­жит Z ..

Вы­чис­лим  синус x и  ко­си­нус x для x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . конец си­сте­мы .

Ана­ло­гич­но, вы­чис­лим  синус x и  ко­си­нус x для x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . конец си­сте­мы .

В обоих слу­ча­ях усло­вия  синус x боль­ше или равно 0 и  ко­си­нус x боль­ше или равно 0 вы­пол­не­ны.

Пер­вый слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . конец си­сте­мы .

Тогда  синус y=1 минус ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , а  ко­си­нус y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . В этом слу­чае ре­ше­ние си­сте­мы можно за­пи­сать в виде

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи k, y= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n. конец си­сте­мы .

Усло­вию 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 4 Пи и  минус 2 Пи мень­ше или равно y мень­ше или равно 2 Пи удо­вле­тво­ря­ют на­бо­ры с k=0, 1 и с n= минус 1, 0. Итого 4 ре­ше­ния.

Вто­рой слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . конец си­сте­мы .

Тогда  синус y=1 минус ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , a  ко­си­нус y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . В этом слу­чае ре­ше­ние си­сте­мы можно за­пи­сать в виде

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи k, y= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n. конец си­сте­мы .

Усло­вию 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 4 Пи и  минус 2 Пи мень­ше или равно y мень­ше или равно 2 Пи удо­вле­тво­ря­ют на­бо­ры с k=0, 1 и с n= минус 1, 0. Итого 4 ре­ше­ния.

Всего по­лу­ча­ем 8 ре­ше­ний. Вы­пи­шем зна­че­ния пер­вой ко­ор­ди­на­ты x таких ре­ше­ний:

 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи .

 

Ответ: 4 пары; зна­че­ние пер­вой ко­ор­ди­на­ты:  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 Пи .