РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7558 Добавить в вариант

Решите уравнение

$синус в кубе x плюс 6 косинус в кубе x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус 2 x синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение

$синус в кубе x плюс синус x косинус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка плюс 6 косинус в кубе x=0 равносильно синус в кубе x плюс синус в квадрате x косинус x плюс синус x косинус в квадрате x плюс 6 косинус в кубе x=0 .$ $синус в кубе x плюс синус x косинус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка плюс 6 косинус в кубе x=0 равносильно$
$равносильно синус в кубе x плюс синус в квадрате x косинус x плюс синус x косинус в квадрате x плюс 6 косинус в кубе x=0 .$

Если $косинус x=0,$ то подставляя в уравнение, получим $синус x=0,$ чего быть не может. Разделим на $косинус в кубе x:$

$тангенс в кубе x плюс тангенс в квадрате x плюс тангенс x плюс 6=0.$

Сделаем замену $y= тангенс x:$

$y в кубе плюс y в квадрате плюс y плюс 6=0 равносильно левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате минус y плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно y= минус 2,$

следовательно,

$тангенс x= минус 2 равносильно x= минус арктангенс 2 плюс Пи n, n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус арктангенс 2 плюс Пи n : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Сведение к однородному уравнению / неравенству, Методы тригонометрии. Введение вспомогательного угла

Спрятать решение · Помощь