Всего: 183 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
—
то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок 
то сфера их не касается, что невозможно, так как по условию сфера касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда. Отметим далее, что сфера не может касаться грани 
(касание означало бы, что 
и 
совпадают). Значит, сфера касается граней ABCD, 
и 
притом последней в точке, лежащей на ребре 
(обозначим 
Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно,
Значит, 
находим, что 
тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани 
и она касается грани 
Площадь основания равна 
—Основание треугольной пирамиды ABCD — правильный треугольник ABC. Объём пирамиды равен 
а её высота, проведённая из вершины D, равна 3. Точка M — середина ребра CD. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды ABCM и ABDM, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре AB.
б) Найдите все возможные значения длины ребра CD, если дополнительно известно, что грани BCD и
ABC взаимно перпендикулярны.
где V — объём, а S — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вершины C и D равноудалены от плоскости A B M); кроме того 
и 
(медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды ABCM и ABDM, эквивалентно условию 
или равенству высот, проведённых к стороне AB в треугольниках ABC и A BD. 
Тогда сторона основания 
а высота треугольника ABC 
откуда 
Следовательно, 
или 
б) 
или 
Основание треугольной пирамиды ABCD — правильный треугольник ABC. Объём пирамиды равен 
а её высота, проведённая из вершины D, равна 4. Точка M — середина ребра CD. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды ABCM
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре AB.
б) Найдите все возможные значения длины ребра CD, если дополнительно известно, что грани BCD и ABC взаимно перпендикулярны.
а её высота равна 4. Значит, площадь основания пирамиды равна 
Тогда сторона основания 
откуда 
получаем, что 
или 
б) 
или 
Рассматриваются четырёхугольные пирамиды MABCD со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором 
а каждая из плоскостей боковых граней MAB, MBC, MCD, MDA составляет угол 45° с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины M, равна 
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
P — проекция M на прямую AB. Тогда MHP — прямоугольный треугольник с углом 
откуда 
(иначе говоря, окружность радиуса r с центром H касается прямых AB, BC, CD, DA).
Равенство достигается, когда 
поэтому 
J — центр окружности, касающейся продолжений сторон четырехугольника ABCD (вневписанной окружности, пусть ее радиус равен 
Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность может быть задана формулой 
Также 
и при этом её длина равна 
или (2) высота проходит через центр вневписанной окружности (т. е. 
и 
первый случай невозможен, так как
Объём равен 
б) 
Рассматриваются четырёхугольные пирамиды TABCD со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором 
а каждая из плоскостей боковых граней TAB, TBC, TCD, TDA составляет угол 30° с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины T, равна 2.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
P — проекция T на прямую AB. Тогда THP — прямоугольный треугольник с углом 
откуда 
(иначе говоря, окружность радиуса r с центром H касается прямых AB, BC, CD, DA).
Равенство достигается, когда 
Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность может быть задана формулой 
Также 
или (2) высота проходит через центр вневписанной окружности 
первый случай невозможен, так как
б) 
Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD. Плоскости 
и 
перпендикулярны B1D и проходят через вершины A и D1 соответственно. Пусть F и H соответственно — точки пересечения плоскостей 
и с диагональю B1D, при 
а) Найдите отношение B1H : DF.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а
также плоскостей и 
Найдите отрезок B1D и объём призмы ABCDA1B1C1D1.
плоскость 
и DF — проекции параллельных отрезков 
и DO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
поэтому 
Обозначим 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
и 
откуда 
и 
(поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана правильная призма KLMNK1L1M1N1 с основанием KLMN. Плоскости 
и 
перпендикулярны L1N и проходят через вершины K и N1 соответственно. Пусть A и B соответственно — точки пересечения плоскостей и с диагональю L1N, при этом AN < BN.
а) Найдите отношение L1B : AN.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей и 
Найдите отрезок L1N и объём призмы KLMNK1L1M1N1.
плоскость 
и AN — проекции параллельных отрезков 
и NO на прямую 
причём 
Значит, 
Кроме того, 
перпендикулярен α, этим расстоянием является отрезок AB, поэтому 
Поскольку 
—
то 
Тогда 
откуда 
то есть 
поскольку 
Наконец, высота призмы равна 
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром BC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках P и Q, отличных от вершин призмы. Отрезки B1P и C1Q пересекаются в точке T, и при этом 
а) Найдите угол TPA.
б) Найдите отношение AP : CP.
в) Пусть дополнительно известно, что AC = 3. Найдите объём призмы.
(т. е. BP и CQ — высоты треугольника ABC). Прямая BP — это проекция прямой TP на плоскость основания, при этом BP перпендикулярна PA. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах TP перпендикулярна PA, т. е. 
и 
пересекаются, то все четыре точки 
и Q лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые PQ и 
лежат в одной плоскости α, а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то PQ параллельна 
Значит, PQ и BC — параллельны. Трапеция PQBC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании BC равны, и поэтому треугольник 
равнобедренный 
и PQT подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника 
соответственно. Значит, 
то 
объём призмы равен 
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Сфера с диаметром AC пересекает рёбра AC и AB соответственно в точках F и N, отличных от вершин призмы. Отрезки C1F и A1N пересекаются в точке P, и при этом 
а) Найдите угол PFA.
б) Найдите отношение AF : FB.
в) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите объём призмы.
(т. е. AN и CF — высоты треугольника ABC). Прямая CF — это проекция прямой 
на плоскость основания, при этом CF перпендикулярна AB. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
пересекаются, то все четыре точки 
F и N лежат в одной плоскости (назовём её α). Значит, прямые FN и 
лежат в одной плоскости 
а так как они не пересекаются (поскольку лежат в параллельных друг другу основаниях призмы), то FN параллельна 
Значит, FN параллельна AC. Трапеция AFNC вписана в окружность, следовательно, она равнобокая, тогда углы при её основании AC равны, и поэтому треугольник ABC равнобедренный 
Треугольники 
и FNP подобны по двум углам. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
поэтому оба треугольника 
соответственно. Значит, 
то 
объём призмы равен 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 12. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки K и L такие, что KL и AB — параллельны, а плоскости KBC и LA1C1 касаются сферы 
Найдите объём призмы и длину отрезка AK.
Значит, сторона основания равна 
площадь основания 
лежат на отрезках LQ и 
где точки Q и 
— середины ребер AC и 
Обозначим центр окружности 
получающейся в сечении сферы данной плоскостью, через O, а точки касания отрезков 
с окружностью — G, P и J соответственно. Высота LH треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
треугольника 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
тогда 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
или 
а так как 
или 
Остаётся заметить, что 
или 
Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6. Сфера радиуса 
касается всех боковых граней призмы. На отрезках AA1 и BB1 выбраны соответственно точки M и K такие, что KM и AB — параллельны, а плоскости ACK и MB1C1 касаются сферы 
Найдите объём призмы и длину отрезка BK.
площадь основания 
Из того, что призма правильная, а сфера касается всех её граней, следует, что плоскость 
также касается сферы; при этом точки касания сферы с плоскостями 
и 
и 
где точки Q и 
и KQ с окружностью — G, J и P соответственно. Высота 
треугольника 
равна высоте треугольника, лежащего в основании призмы, то есть 
и 
Следовательно, 
Обозначим 
Тогда формула Герона даёт, что 
откуда 
следовательно, 
или 
Тогда 
или 
а так как 
или 
На ребре AA1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка T такая, что
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что BB1 = 5. Найдите объём конуса.
равны между собой. Заметим, что 
и 
Из этих неравенств следует, что отрезки TB и TC самые длинные, а отрезок 
—
и 
Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
Значит, искомое отношение равно 
по теореме Пифагора получаем, что 
Радиус основания конуса - это радиус окружности, описанной около треугольника 
Ero стороны: 
Тогда высота конуса 
окончательно получаем 
б) 
На ребре BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка T такая, что BT : B1T = 2 : 5. Точка T является вершиной прямого кругового конуса такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что CC1 = 7. Найдите объём конуса.
Из этих неравенств следует, что отрезки 
Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
Значит, искомое отношение равно 
по теореме Пифагора получаем, что 
Радиус основания конуса - это радиус окружности, описанной около треугольника 
Его стороны: 
и 
Тогда находим его высоту: 
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором AC = 4 и угол 
Сфера проходит через вершины D, A, B, B1, C1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки B, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника ABD, т. е. точка H совпадает с точкой C. Таким образом, отрезок 
перпендикулярен плоскости основания 
Аналогично доказывается, что отрезок 
перпендикулярен плоскости 
Итак, диагональ 
является высотой призмы, а центр сферы O — это её середина. Поэтому 
известны гипотенуза 
и катет 
Значит, 
В основании четырёхугольной ABCDA1B1C1D1 призмы лежит ромб ABCD, в котором 
и угол 
Сфера проходит через вершины D, C, B, B1, A1, D1.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки A, C и D.
б) Найдите угол A1CD.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
как радиусы сферы). Значит, 
поэтому H — центр окружности, описанной около треугольника CBD, т. е. точка H совпадает с точкой C. 
перпендикулярен плоскости 
и катет 
Значит, 
В тетраэдре PABC проведена высота PH. Из точки H на прямые PA, PB и PC опущены перпендикуляры
и 
Плоскости ABC и 
пересекаются по прямой l. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что прямые OH и l перпендикулярны.
(А. Кузнецов)
лежат на одной окружности. Пусть T — точка пересечения прямых AB и 
Имеем 
—
Значит, прямая 
и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров OH.На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.
а) Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.
б) Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?
лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной 
—
высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут 
(т. е. на диагональ AB проецируется вершина 
В силу симметрии сумма векторов 
будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор 
Если вершины O1, O2, O3 лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.
коллинеарные.
откуда либо 
либо 
Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h. 
Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии. 
В прямоугольном параллелепипеде 
диагональ 
равная d, наклонена к плоскости основания под углом 60° и образует угол 45° с плоскостью, проходящей через диагональ 
и середину бокового ребра 
Найдите площадь основания параллелепипеда.
CK перпендикулярно (MN) и CF перпендикулярно KC1. Так как CF перпендикулярна плоскости(AKC1), то 
— заданный в условиях угол между диагональю CA1 и плоскостью (AQC1). Заданный угол между диагональю CA1 и плоскостью основания равен 
т. е. 
В треугольнике CKC1: 
отсюда: 
Так как 
то 
Так как 
то 
и 
получим: 
Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
и ψ — углы между боковыми гранями соответственно шестиугольной и треугольной пирамид. Пересечем всю конструкцию плоскостью, перпендикулярной ребру BS. В сечении получатся три плоских угла, равных углам между боковыми гранями пирамид, то есть 
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны. 
Тогда по теореме косинусов 
следовательно, второй острый угол 
то есть 10 см. Объем пирамиды равен 
Диагональ квадрата равна 
С другой стороны из треугольника АВС по теореме Пифагора 
