Основание треугольной пирамиды ABCD — правильный треугольник ABC. Объём пирамиды равен 
а её высота, проведённая из вершины D, равна 3. Точка M — середина ребра CD. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды ABCM и ABDM, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре AB.
б) Найдите все возможные значения длины ребра CD, если дополнительно известно, что грани BCD и
ABC взаимно перпендикулярны.
а) Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы 
где V — объём, а S — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вершины C и D равноудалены от плоскости A B M); кроме того 
и 
(медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды ABCM и ABDM, эквивалентно условию 
или равенству высот, проведённых к стороне AB в треугольниках ABC и A BD.
Пусть H и K — проекции точки D на плоскость ABC и прямую AB соответственно. Объём пирамиды равен а её высота 
Тогда сторона основания 
а высота треугольника ABC
то есть точка H находится на расстоянии 4 от прямой AB (H лежит на одной из двух прямых, параллельных AB, на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между гранями при ребре AB равен 
б) При дополнительном условии H лежит на луче CB, при этом 
откуда
Из треугольника CDH получаем, что 
Следовательно, 
или 
Ответ: а) 
б) 
или 