По усло­вию, рас­сто­я­ние от C до D равно 20 км. Обо­зна­чим рас­сто­я­ние от А до В через x (км), тогда рас­сто­я­ние от В до С со­ста­вит км.

Пусть v км/ч  — пер­во­на­чаль­ная ско­рость ав­то­мо­би­ля. Тогда на участ­ках ВС и СD она равна км/ч и км/ч, со­от­вет­ствен­но. По усло­вию, путь от В до D занял бы пол­ча­са, если бы ав­то­мо­биль про­дол­жал дви­гать­ся со ско­ро­стью v км/ч, то есть

Далее, на путь из В в С он по­тра­тил на 5 мин боль­ше вре­ме­ни, чем на путь из С в D:

Вы­ра­зив x из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вив во вто­рое, по­лу­чим урав­не­ние для опре­де­ле­ния

ко­то­рое имеет корни 14 и 100. Ко­рень 14, оче­вид­но, по­сто­рон­ний, так как

Ответ: 100 км/ч.

Пусть

Рас­смот­рим слу­чаи:

1.   Оче­вид­но, этот набор  — ре­ше­ние.

2.   Тогда за­ме­тим, что при по­лу­чим вер­ное ра­вен­ство.

Функ­ция на про­ме­жут­ке воз­рас­та­ет, по­это­му на­бо­ры при и не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми. Оста­ет­ся убе­дить­ся, что (1; 3; 4) не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Ответ: 7.

Левую часть урав­не­ния будем ин­тер­пре­ти­ро­вать как квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но Чтобы корни су­ще­ство­ва­ли, дис­кри­ми­нант дол­жен быть не­от­ри­ца­тель­ным, т. е.

Для чет­ных n по­лу­ча­ем урав­не­ние

а для не­чет­ных n на­хо­дим Левая часть урав­не­ния  — чет­ная функ­ция x, по­это­му для и для со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния y будут од­ни­ми и теми же. Ре­ше­ние имеет вид

В круг по­па­да­ет толь­ко 6 ре­ше­ний.

Ответ: 6.

Обо­зна­чим ко­эф­фи­ци­ен­ты за­дан­но­го мно­го­чле­на (кроме стар­ше­го) через

Тогда по усло­вию за­да­чи имеем:

Вме­сте с мно­го­чле­ном рас­смот­рим мно­го­член име­ю­щий корни {}:

Рас­смот­рим мно­го­член

За­ме­ной пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем тре­бу­е­мый мно­го­член по­сколь­ку

В нашем слу­чае

Ответ: -1216.

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы за­да­ет ГМТ точек на плос­ко­сти, сумма рас­сто­я­ний от ко­то­рых до точек и равна 15. За­ме­тим, что

По­это­му со­глас­но не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка, ГМТ таких точек суть точки от­рез­ка

Вто­рое урав­не­ние есть урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке ра­ди­у­са

Един­ствен­ность ре­ше­ния си­сте­мы воз­мож­на в том и толь­ко в том слу­чае, когда окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок ровно в одной точке. Оче­вид­но, что га­ран­ти­ро­ван­но един­ствен­ная точка пе­ре­се­че­ния будет в слу­чае ка­са­ния окруж­но­сти от­рез­ком. Это про­изой­дет тогда, когда рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, со­дер­жа­щей от­ре­зок AB, будет равно ра­ди­у­су окруж­но­сти, и точка ка­са­ния будет по­па­дать в от­ре­зок Урав­не­ние пря­мой, со­дер­жа­щей AB, как не­труд­но уста­но­вить, имеет вид

Со­глас­но фор­му­ле рас­сто­я­ния от точки до пря­мой (один из ва­ри­ан­тов ре­ше­ния):

От­сю­да по­лу­чим два воз­мож­ных зна­че­ния па­ра­мет­ра

Центр окруж­но­сти лежит на пря­мой Точка пе­ре­се­че­ния пря­мых и лежит на от­рез­ке Угол OMB ост­рый, по­это­му точка ка­са­ния пря­мой и окруж­но­сти, центр ко­то­рой лежит под от­рез­ком AB, за­ве­до­мо на от­ре­зок AB по­па­дет. Это про­ис­хо­дит при Если же цент S окруж­но­сти лежит выше от­рез­ка AB (это про­ис­хо­дит при то тре­бу­ют­ся до­пол­ни­тель­ные рас­суж­де­ния. Точка ка­са­ния H есть про­ек­ция точки на пря­мую, со­дер­жа­щую от­ре­зок H по­па­дет в от­ре­зок AM, если Имеем:

Сле­до­ва­тель­но и точка ка­са­ния H лежит на от­рез­ке

В то же время, по­сколь­ку по­столь­ку един­ствен­ность ре­ше­ния воз­мож­на, когда окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AB, но при этом точка A по­па­да­ет во внутрь круга. Так будет про­ис­хо­дить с мо­мен­та пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и от­рез­ка в точке A до мо­мен­та по­втор­но­го пе­ре­се­че­ния в той же точке A (не вклю­чая дан­ные мо­мен­ты).

Най­дем такие по­ло­же­ния точки при ко­то­рых рас­сто­я­ние от нее до точки A равно

Имеем:

От­сю­да

Зна­чит, при точка пе­ре­се­че­ния будет един­ствен­на, как и ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний.

Ответ:

Пусть a₁, a₂, ..., a₂₀₁₉  — ис­ход­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. Тогда a_n = a₁ + (n − 1)d. Пусть s₁, s₂, ..., s_n  — по­сле­до­ва­тель­ность, по­лу­чен­ная из сред­них зна­че­ний. Для лю­бо­го вы­пол­ня­ет­ся для не­ко­то­рых l и m. Сле­до­ва­тель­но,

Если l и m (l ≠ m) про­бе­га­ют все зна­че­ния от 1 до 2025, то l + m − 2, про­бе­га­ют все зна­че­ния от 1 до 4047 (2024 + 2025 − 2). Сле­до­ва­тель­но, по­лу­чен­ная по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с пер­вым чле­ном a₁ и зна­ме­на­те­лем При этом Коля вы­пи­сал 4047 чисел.

Ответ: 4047.

Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что 2026n = 2019k + 2009 или 2016n − 2019k = 2009. По­лу­ча­ем,

Если n = k, то 7n = 2009 и n = 287.

Если n < k, то n > 287.

Если n > k, то n < 0.

Итак, это число 2026 · 287 = 581462.

Ответ: 581462.

Пусть со­бы­тие A  — «у вто­ро­го вы­па­ло боль­ше орлов, чем у пер­во­го», со­бы­тие B  — «у пер­во­го вы­па­ло боль­ше орлов, чем у пер­во­го». По­сколь­ку вы­па­де­ние орла и решки рав­но­ве­ро­ят­но. То со­бы­тия A и B рав­но­ве­ро­ят­ны. Так как вто­рой бро­сал мо­не­ту ровно на один раз боль­ше пер­во­го, то либо орлов, либо решек у него вы­па­ло боль­ше, но не од­но­вре­мен­но. По­это­му со­бы­тия A и B до­пол­ня­ют друг друга.

Таким об­ра­зом, P(A) = P(B) и P(A) + P(B) = 1. Сле­до­ва­тель­но, P(A) = 0,5.

Ответ: 0,5.

За­ме­тим, что по­это­му, за­ме­нив по­след­ний по­ка­за­тель сте­пе­ни чис­лом 2019, по­лу­чим боль­шее число:

Ответ: 2019.

Пусть a_n  — длина сто­ро­ны квад­ра­та перед n-м скла­ды­ва­ни­ем. За­ме­тим, что После пер­во­го скла­ды­ва­ния длина линий из­ги­бов будет равна Так как при каж­дом скла­ды­ва­нии «тол­щи­на» в ли­стах бу­ма­ги уве­ли­чи­ва­ет­ся вдвое, то после ше­сто­го скла­ды­ва­ния длина линий из­ги­бов будет равна

Ответ:

За­ме­тим, что p(x) − p(y) де­лит­ся на x − y. Зна­чит, p(2019) − 6 де­лит­ся на 2019 − 7 = 2012, а 2012 де­лит­ся на 4. То есть p(2019) имеет оста­ток 2 при де­ле­нии на 4, чего не бы­ва­ет у пол­ных квад­ра­тов.

Ответ: нет.

По­вер­нем че­ты­рех­уголь­ник ABCD во­круг точки А на 90° (про­тив ча­со­вой стрел­ки). Пусть точка B, C и D пе­рей­дут в точки B₁, C₁, D₁ со­от­вет­ствен­но. Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что

От­ку­да По­это­му

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке CDC₁ по­лу­ча­ем:

Так как то

Ответ:

Если мы обо­зна­чим сту­лья за 0, 1, 2, …, n − 1, где стул, за­ня­тый пер­вым по­се­ти­те­лем обо­зна­чен за 0, то стул, за­ня­тый (k+1)-м по­се­ти­те­лем обо­зна­чен за На­пом­ним, что Так как два по­се­ти­те­ля за­ни­ма­ют одно место тогда и толь­ко тогда, когда най­дут­ся два целых числа p и q между 0 и n − 1 такие, что де­лит­ся на n. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти будем счи­тать p > q.

Сна­ча­ла рас­смот­рим слу­чай n, не яв­ля­ю­ще­го­ся сте­пе­нью 2. За­пи­шем тогда 2n = uv, где u > v, при­чем одно из зна­че­ний u или v есть сте­пень 2, как ми­ни­мум 2, и дру­гое зна­че­ние  — не­чет­ное число, как ми­ни­мум 3. Пусть и Так как чис­ли­те­ли  — чет­ные числа, то p и q  — целые, а так как чис­ли­те­ли не пре­вос­хо­дят 2u, то p и q  — раз­лич­ные целые числа от 0 до n − 1.

Имеем, То есть для n, не яв­ля­ю­щим­ся сте­пе­нью 2, по­лу­ча­ем более од­но­го по­се­ти­те­ля на дан­ном стуле.

Те­перь рас­смот­рим слу­чай, когда n яв­ля­ет­ся сте­пе­нью 2. Два по­се­ти­те­ля сидят на одном стуле озна­ча­ет, что два целых числа p и q между 0 и n − 1 та­ко­вы, что де­лит­ся на n. Раз­ность двух мно­жи­те­лей в чис­ли­те­ле равна (p + q + 1) − (p − q) = 2q + 1, не­чет­ное число. Это озна­ча­ет, что толь­ко один мно­жи­тель может быть чет­ным. Ве­ли­чи­на этого чет­но­го мно­жи­те­ля не боль­ше, чем p + q + 1, что мень­ше 2n. Таким об­ра­зом, любой чет­ный мно­жи­тель в мень­ше, чем n. Если n  — сте­пень 2, то не может де­лить­ся на n, и каж­дый стул занят толь­ко одним по­се­ти­те­лем.

Ответ: где m = 0, 1, 2, ... (1, 2, 4, 8, ...).

Пе­ре­груп­пи­ру­ем:

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, если x = y = 2.

Ответ: {(x, y): (2, 2)}.

Пусть 3n и 7n  — пер­во­на­чаль­ное ко­ли­че­ство монет у Ивана и Петра. Через не­ко­то­рое время ко­ли­че­ство монет у Ивана будет 3n + 7k, а у Петра  — 7n + 3m. При этом 7(3n + 7k) = 3(7n + 3m). Сле­до­ва­тель­но, 49k = 9m. Нужно опре­де­лить при какой наи­мень­шей сумме k + m это воз­мож­но. Так как, m долж­но де­лить­ся на 49, а k  — на 9, то наи­мень­шая сумма k + m равна 58.

Итак, от­но­ше­ние ко­ли­че­ства монет у Ивана к ко­ли­че­ству монет у Петра снова может стать 3:7 толь­ко через 58 дней, то есть 28 фев­ра­ля 1019 года.

Ответ: 28 фев­ра­ля 1019 года.

За­пи­шем по­лу­чен­ную по­сле­до­ва­тель­ность сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Пре­жде всего за­ме­тим, что у нас будет 63 стро­ки, при этом по­след­няя стро­ка со­дер­жит толь­ко 2 еди­ни­цы. Дей­стви­тель­но, в 62 стро­ках чисел. Сле­ду­ю­щие числа −63, 1, 1. Сумма в не­чет­ных стро­ках, кроме по­след­ней равна 0. Сумма чисел в чет­ных стро­ках равна удво­ен­но­му но­ме­ру со­от­вет­ству­ю­щей стро­ки. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая сумма равна

Ответ: 1923.

Обо­зна­чим через A ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный со­труд­ник даст пра­виль­ный ответ. Ве­ро­ят­ность сов­па­де­ния от­ве­та со­труд­ни­ка с от­ве­том ро­бо­та равна сумме ве­ро­ят­но­стей пра­виль­но­го от­ве­та обоих и не­пра­виль­но­го от­ве­та обоих. По усло­вию за­да­чи по­лу­ча­ем 4/5A+(1-4/5)(1-A)=1/2, сле­до­ва­тель­но, A=1/2. Обо­зна­чим через x и y со­от­вет­ствен­но ко­ли­че­ство муж­чин и жен­щин в ком­па­нии. Ве­ро­ят­ность A пра­виль­но­го от­ве­та слу­чай­но вы­бран­но­го со­труд­ни­ка ком­па­нии равна сумме ве­ро­ят­но­сти того, что будет вы­бран муж­чи­на и он от­ве­тит пра­виль­но, и ве­ро­ят­но­сти того, что будет вы­бра­на жен­щи­на и она даст пра­виль­ный ответ.

Таким об­ра­зом, или 7x = 3y.

Ответ: 3/7.

За­ме­тим, что, если то

Тогда до­ка­зы­ва­е­мое не­ра­вен­ство рав­но­силь­но сле­ду­ю­ще­му: ко­то­рое вы­те­ка­ет из не­ра­вен­ства тре­уголь­ни­ка где не­об­хо­ди­мо по­ло­жить

Ис­ход­ное урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде k! + l! + n! = m!. Пусть k, l, m, n  — на­ту­раль­ные числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие ис­ход­но­му урав­не­нию. Обо­зна­чим за M наи­боль­шее из чисел k, l, n. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

При m = 3 по­лу­чим 3! = 3M! = k! + l! + n!, ко­то­рое вы­пол­не­но толь­ко при k = l = n = M = 2. При M = 2 урав­не­ние не имеет ре­ше­ний:

Ана­ло­гич­но, нет ре­ше­ний при M = 1.

Ответ: {(k, l, m, n): (2, 2, 3, 2)}.

Для всех на­ту­раль­ных n вы­пол­не­но и, таким об­ра­зом,

Так как все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти по­ло­жи­тель­ные, то x₂₀₁₉ > 64. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что x₁₀₀ > 16, x₅₀₀ > 32, x₁₀₀₀ > 45, x₁₅₀₀ > 55. Также оче­вид­но, что по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ю­щая. Сле­до­ва­тель­но,

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.