Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
удовлетворяют соотношениям:
где 
и 
Вычитая друг из друга эти равенства, получим:
(2)
отличны от нуля. Тогда 
и 
что невозможно, так как, сложив 2-е равенство с 3-им и вычтя 1-е, получим 3 = 0. Значит, хотя бы одно из чисел 
очевидно, удовлетворяет условиям задачи (достаточно взять 
Тогда 
Из системы (2) находим 
Тогда 
Тогда 
которые одновременно удовлетворяют трем условиям:
для любого 
для любых 
ℝ.
Тогда 
Поскольку 
находим 
в (1), получим, с учетом (2), что 
тождество (1) (с учетом (2)) примет вид 
Значит, необходимо, чтобы 
при 
так как по условию 
Далее, согласно (3), 
Окончательно, 
для любого 
ℝ. Легко убедиться, что такая 
действительно удовлетворяет требованиям 1), 2), 3) из условия задачи.
Известно, что 
Найдите синус угла между диагоналями этого четырехугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
По условию площади треугольников ABO и CDO равны, то есть 
Отсюда 
и, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по первому признаку подобия: две стороны 
и 
треугольника BOC пропорциональны двум сторонам 
и 
треугольника AOD, а углы, образованные этими сторонами 
и 
равны. Пусть 
— коэффициент подобия треугольников BOC и 
Обозначим через S площади треугольников ABO и CDO (по условию 
Тогда 
и 
В итоге, площадь четырехугольника ABCD может быть представлена в виде:
минимальное значение выражения 
достигается при 
Значит, 
и 
то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Его площадь 
(1)
— количество цифр в исследуемом числе 
Пусть 
— основание системы счисления. Тогда 
Рассмотрим случаи четного и нечетного 
Таким образом, число A представлено в виде произведения двух целых сомножителей (по теореме Безу многочлен 
делится без остатка на многочлен 
), каждый из которых отличен от 1. Значит, при четных n число A простым не является.
. При 
оба сомножителя целые и отличны от 1; значит, число A составное. Остается убедиться, что при 
получается простое число 
представлена в виде периодической десятичной дроби. Найдите длину периода. (Например, длина периода дроби 
равна 3.)
в десятичную. Для этого выполним деление уголком (рис.). В результате найдем 
Получена непериодическая часть 123 и период 63. Обсудим, почему непериодическая часть здесь возникла, и покажем, что у дроби 
(остатку от деления на 275 числа 340). То есть 
Аналогично, 
где 
Числа 650 и 1750 дают одинаковые остатки при делении на 275 из-за того, что их разность на 275 делится нацело: 
⋮ 275.
и 
– это различные остатки от деления на 221, то произведение 
на 221 нацело не делится (число 221, в отличие от 275, взаимно просто с 10 – основанием системы счисления, поэтому непериодической части нет). Итак, десятичная запись дроби 
Найдем 
Тогда 
По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
Отсюда 
Поскольку A — натуральное число, требуется найти наименьшее натуральное n, при котором число 
дает остаток 1 при делении на 221.
при делении на 221 дает остаток 1 в том и только том случае, когда B при делении и на 13, и на 17 также дает остаток 1. Необходимость очевидна. 
и 
то 
а значит, число 
делится на 17, то есть 
Поэтому 
и при делении на 221 действительно получается остаток 1. Найдем теперь такие n, что число 
Заменим её члены остатками от деления на 13. Получится вот что: 
Каждый последующий член однозначно определяется предыдущим. Значит, 
– периодическая последовательность, в которой каждый шестой член равен 1. То же проделаем для 17. Там единице будет равен каждый 16-й член. Таким образом, остаток 1 при делении и на 13, и на 17 получится при n = НОК(6,16) = 48. Аня с Борей играют в «морской бой» по следующим правилам: на окружности выбираются 29 различных точек, пронумерованных по часовой стрелке натуральными числами от 1 до 29. Аня рисует корабль – произвольный треугольник с вершинами в этих точках. Будем называть «выстрелом» выбор двух различных натуральных чисел k и m от 1 до 29. Если отрезок с концами в точках с номерами k и m имеет с треугольником Ани хотя бы одну общую точку, то корабль считается «раненым». Боря производит «залп» – несколько выстрелов одновременно. Аня нарисовала корабль и показала его Боре. И тут они заметили, что любой «залп» из K различных выстрелов обязательно ранит корабль Ани. Укажите какое-нибудь расположение корабля Ани, при котором значение К будет минимальным.
и 
— количество точек на этих дугах (рис.), не считая вершины самого треугольника. Чтобы «выстрел» с концами в точках k и m не задел корабль, надо чтобы обе эти точки лежали на одной из дуг. Выбрать две различные точки на дуге, содержащей x точек, можно, очевидно, 
способами. То же и для остальных дуг. Значит, число N «безопасных» выстрелов равно сумме 
Тогда следующий выстрел уже обязательно «ранит» корабль, поэтому 
при которых значение N минимально. Запишем выражение для N в развернутом виде:
Оно, в свою очередь, минимально при 
≈ 8,6. Тогда 
Среди точек с целыми координатами (8,8), (8,9), (9,8), (9,9) – ближайших целочисленных соседей точки минимума 
– выбираем ту, которой соответствует наименьшее значение N. Это точки (8,9), (9,8), (9,9). Для них N = 100.
удовлетворяют соотношениям:
В одной из клеток бесконечной клетчатой бумаги находится робот, которому могут быть отданы следующие команды:
· вверх (робот перемещается на соседнюю клетку сверху);
· вниз (робот перемещается на соседнюю клетку снизу);
· влево (робот перемещается на соседнюю клетку слева);
· вправо (робот перемещается на соседнюю клетку справа).
Если, например, робот выполнит последовательность из четырех команд (вверх, вправо, вниз, влево), то он, очевидно, вернется в исходное положение, т. е. окажется в той же клетке, из которой начал движение. Сколько существует всего различных последовательностей из 8 команд, возвращающих робота в исходное положение?
Последовательность состоит только из команд В и Н. Так как их поровну, то на 4 местах из 8 должна быть команда В, а на оставшихся двух – Н. Выбрать 4 места из 8 можно 
способами. Следовательно, 
способами: 
– число способов вообще выбрать 2 позиции из 8, 
– число способов разместить на этих двух позициях команды Л и П. На оставшихся 6 позициях следует разместить 3 команды В, что можно сделать 
способами. Поэтому 
Здесь две Л, две П а также по 2 команды В и Н. Для Л и П имеем 
вариантов размещения. На оставшихся 4 позициях разместить 2 команды В можно 
способами. Значит, 
и 
Таким образом, искомое число последовательностей равно 
где 
где 
опять же целые. Положительное число 
очевидно, меньше 1. Значит, возводя его в достаточно большую степень, можно получить число сколь угодно малое. Найдем такое натуральное n, что 
Поскольку 
то, очевидно, достаточно взять 
так как 
Остается возвести 
в 10-ю степень. Находим:
поэтому можно взять 
Но 
Аня с Борей играют в «морской бой» по следующим правилам: на окружности выбираются 29 различных точек, пронумерованных по часовой стрелке натуральными числами от 1 до 29. Аня рисует корабль – произвольный треугольник с вершинами в этих точках. Боря (не зная расположение корабля Ани) производит «выстрел»: он называет два различных натуральных числа k и m от 1 до 29, и, если отрезок с концами в точках с номерами k и m, совпадает с одной из сторон треугольника Ани, то корабль считается «раненым». Сможет ли Боря, играя обдуманно, гарантированно «ранить» корабль, где бы Аня его ни расположила, сделав не более 134 выстрелов?
различных треугольников. Один выстрел «ранит» 27 треугольников. Сделав 134 выстрела, удастся «ранить» не более 134 ∙ 27 = 3618 треугольников. Так как 
то 134 выстрелов не хватит, чтобы гарантированно «ранить» корабль.
имеет единственный действительный корень 
Придумайте хотя бы одно уравнение вида
– целые числа и 
одним из корней которого было бы число
воспользовавшись тем, что 
В результате получим
и 
Решив ее, найдем 
Подставив эти соотношения в последнее равенство, получим искомое уравнение относительно 
— основание системы счисления. Тогда 
справедливо неравенство:
на интервале 
Следовательно, числа 
лежат на интервале 
Её вторая производная 
положительна для всех 
значит, на этом интервале функция выпукла вниз. 
Левая часть последнего неравенства – сумма ординат точек A и B или, что тоже самое, – удвоенная ордината точки K – середины отрезка AB. Аналогично, правая часть последнего неравенства – удвоенная ордината точки M – середины CD. Поскольку В каждую из k ячеек квадратной таблицы n x n записана единица, а в остальные ячейки – ноль. Найдите максимальное значение k, при котором, независимо от исходного расположения единиц, меняя местами строки между собой и столбцы между собой, можно добиться того, что все единицы окажутся выше побочной диагонали или на ней? (Побочной называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. На рисунке приведен пример: содержимое ячеек, лежащих выше побочной диагонали или на ней, отмечено жирным.)
Очевидно, что для таблицы 
искомое максимальное k равно 3. Экспериментируя с таблицей 
можно заметить, что 
(ниже мы докажем это строго). Сделанные наблюдения позволяют предположить, что для произвольного 
максимальное значение k равно 
Докажем это. 
единицы таблица содержать не может. Для этого приведем контрпример, но сначала вспомним определение трансверсали. Трансверсалью таблицы Tn называют набор из n ячеек, содержащих 1, любые две из которых расположены в разных строках и разных столбцах. Ясно, что если какие-то ячейки образовывали трансверсаль, то и после перестановки строк или столбцов они снова образуют трансверсаль. На рисунке изображена таблица n x n с 
единицу всегда можно перенести на побочную диагональ или выше. Итак,
единиц. В такой таблице обязательно есть строка или ровно с одной 1, или не содержащей единиц вовсе. Рассмотрим эти случаи.
содержащая, по крайней мере, на одну 1 меньше, чем таблица 
можно выполнить аналогичные преобразования. В результате за 
шага придем к таблице 
для которой уже установлено, что 
Формула 
доказана.
(Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)
при 
при 
при 
может принимать значения 1, 2 или 3. Подставляя указанные значения в равенство 
найдем, что 
или 
(первый член прогрессии может принимать значения от 1 до 
количество прогрессий с разностью d равно 
Разность d удовлетворяет неравенству 
(если первый член прогрессии равен 1, то ее четвертый член, 
не превосходит n). Поэтому наибольшее значение разности равно 
(квадратные скобки обозначают целую часть числа). Следовательно, количество прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, равно:
где 
имеем 
и число способов равно 166167.Из пункта A в пункт D, расстояние между которыми равно 100 км, выехал автомобилист. Дорога из А в D проходит через пункты В и С. В пункте В навигатор показал, что ехать осталось 30 мин, и автомобилист тут же снизил скорость на 10 км/ч. В пункте С навигатор показал, что ехать осталось 20 км, и автомобилист сразу же второй раз снизил скорость на те же 10 км/ч. (Навигатор определяет оставшееся время на основании текущей скорости движения.) Определите первоначальную скорость автомобиля, если известно, что на путь из В в С он потратил на 5 мин больше времени, чем на путь из С в D.
км.
км/ч и 
км/ч, соответственно. По условию, путь от В до D занял бы полчаса, если бы автомобиль продолжал двигаться со скоростью v км/ч, то есть 
в степень N, мы получили число 
(здесь 
– целые). Раскрыв скобки в выражении 
получим сумму одночленов (с несущественными (для нас сейчас) целыми коэффициентами) вида 
Вклад в коэффициент B дадут те одночлены, у которых показатель n нечетен. Поэтому, если 
то 
Перемножив равенства 
и 
получим 
Показатель N найдем, деля обе части последовательно на 2 (можно, например сразу поделить каждое слагаемое справа на 256).
Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, при этом прямые AM и AC перпендикулярны. Найти MA, если радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 9.
и 
Из перпендикулярности векторов 
и 
следует, что 
Откуда, учитывая 
получаем 
Из перпендикулярности векторов 
следует, что 
Кроме этого 
и 
(Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)
при 
и 
при 
может принимать значения 1 или 2. Подставляя указанные значения в равенство 
или 