сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дей­стви­тель­ные числа x,y,z удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям:

4x в квад­ра­те минус 2x минус 30yz=25y в квад­ра­те плюс 5y плюс 12xz=9z в квад­ра­те минус 3z минус 20xy.

Най­ди­те все воз­мож­ные трой­ки чисел  левая круг­лая скоб­ка a,b,c пра­вая круг­лая скоб­ка , где a=2x плюс 5y,b=3z плюс 5y,c=3z минус 2x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

a минус b плюс c=0.

Обо­зна­чим A=4x в квад­ра­те минус 2x минус 30yz, B=25y в квад­ра­те плюс 5y плюс 12xz и C=9z в квад­ра­те минус 3z минус 20xy. Вы­чи­тая друг из друга эти ра­вен­ства, по­лу­чим:

A минус B=a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6z минус 5y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

 

B минус C=b умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5y плюс 4x минус 3z плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, (2)

 

A минус C=c умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x минус 10y минус 3z пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Пред­по­ло­жим, что все три числа a,b,c от­лич­ны от нуля. Тогда 2x минус 6z минус 5y минус 1=0,5y плюс 4x минус 3z плюс 1=0 и 1 минус 2x минус 10y минус 3z=0, что не­воз­мож­но, так как, сло­жив 2-е ра­вен­ство с 3-им и вычтя 1-е, по­лу­чим 3 = 0. Зна­чит, хотя бы одно из чисел a,b,c равно нулю. Рас­смот­рим воз­мож­ные слу­чаи:

 

1)  Все три числа a,b,c равны нулю. Трой­ка a=b=c=0, оче­вид­но, удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи (до­ста­точ­но взять x=y=z=0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

2)  Среди чисел a,b,c толь­ко два равны нулю. Это не­воз­мож­но: если два числа равны нулю, то, со­глас­но (1), равно нулю и тре­тье.

 

3)  Толь­ко одно из чисел a,b,c равно нулю.

 ·  a=0. Тогда x= минус дробь: чис­ли­тель: 5y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Из си­сте­мы (2) на­хо­дим b=c=1;

 ·  b=0. Тогда a= минус c=1;

 ·  c=0. Тогда a=b= минус 1.

 

Ответ: (0,0,0), (0,1,1), (1,0,-1), (-1,-1,0).