Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния

По усло­вию Сле­до­ва­тель­но, числа лежат на ин­тер­ва­ле Рас­смот­рим функ­цию Её вто­рая про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на для всех зна­чит, на этом ин­тер­ва­ле функ­ция вы­пук­ла вниз.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти от­ме­тим точки Левая часть по­след­не­го не­ра­вен­ства – сумма ор­ди­нат точек A и B или, что тоже самое, – удво­ен­ная ор­ди­на­та точки K – се­ре­ди­ны от­рез­ка AB. Ана­ло­гич­но, пра­вая часть по­след­не­го не­ра­вен­ства – удво­ен­ная ор­ди­на­та точки M – се­ре­ди­ны CD. По­сколь­ку вы­пук­ла вниз, весь от­ре­зок AB рас­по­ло­жен «выше» от­рез­ка CD, а зна­чит ор­ди­на­та точки K боль­ше ор­ди­на­ты точки M. Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.