Для крат­ко­сти ко­ман­ду влево будем обо­зна­чать Л, впра­во – П, вверх – В, вниз – Н. Чтобы робот вер­нул­ся в ис­ход­ное по­ло­же­ние не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы ему было от­да­но ко­манд Л столь­ко же, сколь­ко и ко­манд П, а ко­манд В – столь­ко же, сколь­ко и Н. Пусть k –ко­ли­че­ство ко­манд Л в по­сле­до­ва­тель­но­сти. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство N_k ис­ко­мых по­сле­до­ва­тель­но­стей для k от 0 до 2.

 ·  По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит толь­ко из ко­манд В и Н. Так как их по­ров­ну, то на 2 ме­стах из 4 долж­на быть ко­ман­да В, а на остав­ших­ся двух – Н. Вы­брать 2 места из 4 можно спо­со­ба­ми. Сле­до­ва­тель­но,

 ·  Каж­дая из ко­манд Л, П, В, Н встре­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти ровно 1 раз. Число пе­ре­ста­но­вок из 4 эле­мен­тов равно 4!. По­это­му

 ·  Здесь две Л, две П и нет ко­манд В и Н. Две ко­ман­ды Л можно раз­ме­стить спо­со­ба­ми. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число по­сле­до­ва­тель­но­стей равно

Ответ: 36.