сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все про­стые числа, де­ся­тич­ная за­пись ко­то­рых имеет вид 101010…101.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть 2n плюс 1  — ко­ли­че­ство цифр в ис­сле­ду­е­мом числе A=101010...101. Пусть q=10  — ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния. Тогда A=q в сте­пе­ни 0 плюс q в квад­ра­те плюс ... плюс q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2n пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те минус 1 конец дроби . Рас­смот­рим слу­чаи чет­но­го и не­чет­но­го n.

 

 ·  n=2k arrow A= дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: q минус 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: q плюс 1 конец дроби . Таким об­ра­зом, число A пред­став­ле­но в виде про­из­ве­де­ния двух целых со­мно­жи­те­лей (по тео­ре­ме Безу мно­го­член q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \pm 1 де­лит­ся без остат­ка на мно­го­член q\pm 1), каж­дый из ко­то­рых от­ли­чен от 1. Зна­чит, при чет­ных n число A про­стым не яв­ля­ет­ся.

 

 ·  n=2k минус 1 arrow A= дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2k пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те минус 1 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . . При k боль­ше 1 оба со­мно­жи­те­ля целые и от­лич­ны от 1; зна­чит, число A со­став­ное. Оста­ет­ся убе­дить­ся, что при k=1 по­лу­ча­ет­ся про­стое число A=q в сте­пе­ни 0 плюс q в квад­ра­те =101.

 

Ответ: 101.