РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 513 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Тип 0 № 260 Добавить в вариант

Какое максимальное число квадратов 2 на 2 можно уложить на клетчатую доску размера 7 на 7 квадратов так, чтобы каждые два уложенных квадрата имели не больше одной общей клетки? Квадраты 2 на 2 укладываются по линиям сетки так, что каждый закрывает ровно 4 клетки. Квадраты не выходят за границу доски.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Доказательство того, что квадратов не больше 18.	5
Любой правильный пример.	2
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 270 Добавить в вариант

Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от $дробь: числитель: nS, знаменатель: 100 конец дроби$ не более чем на $дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .$

Решение.

Для начала мы приведем ложное решение пятой задачи, с нетривиальной дырой. Желающим развить свою математическую культуру читателям предлагается в качестве полезного и непростого упражнения самостоятельно найти дыру в решении. Те кого интересует просто как решается задача №5 могут сразу читать настоящее решение ниже.

Ложное решение. Обозначим данные n чисел за x₁, x₂, . . . , x_n. Без ограничения общности будем считать, что S ≥ 0. Если это не так, то будем доказывать утверждение задачи для чисел y_i = −x_i c положительной суммой. Из него будет следовать утверждение исходной задачи.

Докажем, что среди данных чисел существует набор из подряд идущих, удовлетворяющих неравенству из условия. То есть найдутся такие натуральные s и t (1 ≤ s ≤ t ≤ n) что подмножество x_s, x_s+1, . . . , x_t – искомое.

Обозначим через m₁ первый индекс, для которого x₁ + x₂ + · · · + x_m1 ≥ S/100, через m₂ – первый индекс, для которого x₁ + x₂ + · · · + x_m2 ≥ 2S/100, и так далее: x₁ + x₂ + · · · + x_mi ≥ iS/100 по всем i до 100. Рассмотрим также разности a_i = x₁ + x₂ + · · · + x_mi − iS/100. Заметим что m₁₀₀ и a₁₀₀ определены, поскольку по крайней мере для n выполняется неравенство x₁ + x₂ + · · · + x_n = S ≥ iS/100 для любого i. Формально доопределим: m₀ = 0 и a₀ = 0. Заметим теперь, что так как выбранные нами индексы были первыми для своего условия и так как все числа x_i по модулю не превосходят 1, то все a_i лежат на отрезке [0; 1]. Чисел a_i всего 101 (для i от 0 до 100). Значит, найдутся два индекса i и j, для которых |a_i − a_j| ≤ 1/100. Без ограничения общности j > i. Тогда |(x₁ + x₂ + · · · + x_mi) − (x₁ + x₂ + · · · + x_mj) − iS/100 + jS/100| ≤ 1/100 или |x_mi + x_mi + 1 + · · · + x_mj − (j − i) S/100| ≤ 1/100. Тем самым, числа x_mi + 1 + · · · + x_mj  — искомые.

Настоящее решение. Обозначим данные n чисел за x₁, x₂, . . . , x_n. Без ограничения общности будем считать, что S ≥ 0. Если это не так, то будем доказывать утверждение задачи для чисел y_i = −x_i c положительной суммой. Из него будет следовать утверждение исходной задачи.

Предположим, все a_i лежат на отрезке [0; 1 − 1/100]. Тогда, так как чисел a_i всего 100 (для i от 0 до 99), найдутся два индекса i и j, для которых |a_i − a_j| ≤ 1/100. Без ограничения общности j > i. Тогда m_j ≥ m_i по определению чисел m_i. Получаем: |(x₁ + x₂ + · · · + x_mj) − (x₁ + x₂ + · · · + x_mi) + jS/k − iS/k| ≤ 1/k или |x_mi + x_mi+1 + · · · + x_mj − (j − i)S/k| ≤ 1/k. Заметим, что можно взять n = j − i, поскольку j − i > 0 и j − i ≤ j < 100. Тем самым, числа x_mi, x_mi+1 + · · · + x_mj  — искомые.

Пусть теперь для некоторого i разность a_i попала на полуинтервал (1 − 1/100, 1]. Докажем, что в этом случае подмножество x₁, . . . , x_mi−1  — искомое. Для этого достаточно показать, что

iS/k − 1/k < x₁ + · · · + x_mi−1 ≤ iS/100.

Второе неравенство следует из определения m_i, ведь m_i – это первый индекс для которого сумма стала не меньше iS/100. Первое неравенство равносильно следующему: x₁ + · · · + x_mi−1−iS/k > −1/100. Но x₁ + · · · + x_mi-1 − iS/k = a_i − x_mi, и это больше −1/100, так как a_m > 1 − 1/100 и x_m ≤ 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение.	32
Доказано более слабое утверждение: что в условиях задачи можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от $дробь: числитель: nS, знаменатель: 100 конец дроби$ не более чем на $дробь: числитель: 1, знаменатель: 99 конец дроби$ . Это гипотетический критерий, ни одной работы, удовлетворяющей ему, не обнаружено.	11
Рассуждения, какой должна быть сумма выбранного подмножества, без указаний, как выбрать подмножество с такой суммой или почему это возможно сделать ИЛИ решение задачи в частном случае (например, если \|S\| ≤ 2 или для конкретного набора чисел) ИЛИ доказательство более слабого утверждения, например построение требуемого подмножества для 1 ≤ n ≤ 100 (либо 0 ≤ n < 100) вместо требующегося в задаче 1 ≤ n < 100	0
Максимальный балл	32

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 277 Добавить в вариант

Решение.

iS/k − 1/k < x₁ + · · · + x_mi−1 ≤ iS/100.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение.	32
Доказано более слабое утверждение: что в условиях задачи можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от $дробь: числитель: nS, знаменатель: 100 конец дроби$ не более чем на $дробь: числитель: 1, знаменатель: 99 конец дроби$ . Это гипотетический критерий, ни одной работы, удовлетворяющей ему, не обнаружено.	11
Рассуждения, какой должна быть сумма выбранного подмножества, без указаний, как выбрать подмножество с такой суммой или почему это возможно сделать ИЛИ решение задачи в частном случае (например, если \|S\| ≤ 2 или для конкретного набора чисел) ИЛИ доказательство более слабого утверждения, например построение требуемого подмножества для 1 ≤ n ≤ 100 (либо 0 ≤ n < 100) вместо требующегося в задаче 1 ≤ n < 100	0
Максимальный балл	32

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 297 Добавить в вариант

Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия: 1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число; 2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число. (Например, если к первой строке таблицы A прибавить третью строку, умноженную на 2, то получится таблица, изображенная на рисунке под словом пример.) Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.

Таблица A

1	0	0	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Таблица B

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

Пример

1	0	6	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Решение.

Для таблицы 2 на 2 вида $левая круглая скобка \beginarraylla b c d\endarray правая круглая скобка ,$ где $a, b, c, d принадлежит R$ число ad – bc будем называть определителем этой таблицы. Пусть в составленной из целых чисел таблице

$левая круглая скобка \beginarraylllll a_11 a_12 a_13 a_14 a_15 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

у любой подтаблицы размера 2 на 2 (то есть подтаблицы вида

$левая круглая скобка \beginarraycca_i, j a_i, j плюс k a_i плюс k, j a_i плюс k, j плюс k\endarray правая круглая скобка ,$

где $i, j, i плюс k, j плюс k принадлежит левая фигурная скобка 1, \ldots, 5 правая фигурная скобка правая круглая скобка$ определитель делится на целое число m. Проделаем с таблицей (1) одно из указанных в задаче действий. Тогда у получившейся в результате таблицы определитель любой ее подтаблицы размера 2 на 2 также будет на m. Действительно, проведем доказательство данного факта для действия 1 из условия задачи (для столбцов доказательство аналогично). Пусть, без ограничения общности, к первой строке прибавляется вторая, умноженная на целое число b:

$левая круглая скобка \beginarrayccccc a_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_13 плюс b a_23 a_14 плюс b a_24 a_15 плюс b a_25 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

В получившейся таблице, все подтаблицы 2 на 2, не содержащие элементы первой строки таблицы (2), остались без изменения, и потому их определитель, естественно, на m по-прежнему делится. Поэтому проверим, что в таблице (2) определители подтаблиц 2 на 2, включающие элементы первой строки, делятся на m. Это нужно проверить в двух случаях: 1) подтаблица 2 на 2 составлена из элементов первой и второй строки таблицы (2) и 2) таблица 2 на 2 составлена из элементов первой и еще какой-то (отличной от второй) строки таблицы (2).

Случай 1. Определитель таблицы

$левая круглая скобка \beginarrayccca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_21 a_22\endarray правая круглая скобка$

равен

$a_22 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_21 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка =a_11 a_22 минус a_21 a_12,$

что совпадает с определителем соответствующей подтаблицы таблицы (1), а значит делится на m по условию.

Случай 2. Рассмотрим подтаблицу, составленную из элементов первой и, например, третьей строки:

$левая круглая скобка \beginarraycca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_31 a_32\endarray правая круглая скобка .$

Ее определитель

$a_32 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_31 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

равен

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

$a_32 a_11 минус a_31 a_12 плюс b левая круглая скобка a_32 a_21 минус a_31 a_22 правая круглая скобка .$

Числа $a_32 a_11 минус a_31 a_12$ и $a_32 a_21 минус a_31 a_22$ представляют собой определи подтаблиц таблицы (1), а значит, делятся на m. Следовательно, на m делится и определитель (3).

Остается заметить, что определители всех подтаблиц 2 на 2 таблицы А делятся на 3, в то время как таблица В содержит подтаблицу (выделена серым), определитель которой на 3 не делится. Значит, получить таблицу В из таблицы А указанными действиями нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

Решение · Помощь

Тип 21 № 338 Добавить в вариант

В одной из клеток бесконечной клетчатой бумаги находится робот, которому могут быть отданы следующие команды:

 ·  вверх (робот перемещается на соседнюю клетку сверху);

 ·  вниз (робот перемещается на соседнюю клетку снизу);

 ·  влево (робот перемещается на соседнюю клетку слева);

 ·  вправо (робот перемещается на соседнюю клетку справа).

Если, например, робот выполнит последовательность из четырех команд (вверх, вправо, вниз, влево), то он, очевидно, вернется в исходное положение, т. е. окажется в той же клетке, из которой начал движение. Сколько существует всего различных последовательностей из 4 команд, возвращающих робота в исходное положение?

Аналоги к заданию № 338: 375 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 358 Добавить в вариант

В некоторой компании ни у каких двух сотрудников нет работы одинаковой сложности, и никакие двое не получают

одинаковую зарплату. 1 апреля каждый сотрудник сделал два утверждения:

(а) Не найдется 12 сотрудников с более сложной работой.

(б) По меньшей мере 30 сотрудников имеют большую зарплату.

Сколько сотрудников в компании, если часть сотрудников дважды сказали правду, а остальные дважды солгали.

Решение.

Если 1 апреля все сотрудники компании сказали правду, то второе утверждение про наибольшую зарплату ложно, что быть не может. Если же все они солгали, то первое утверждение для сотрудника с наибольшей зарплатой будет верно, то есть вновь получаем противоречие. Таким образом, существует хотя бы один солгавший и хотя бы один сказавший правду.

Возьмем сотрудника, сказавшего правду с наибольшей зарплатой из всех правдивых сотрудников. Поскольку из его второго утверждения следует, что по меньшей мере 30 «лжецов» имеют большую зарплату, чем он. Второе утверждение солгавшего сотрудника, имеющего наименьшую зарплату среди «лжецов» ложно, таким образом, не более 29 «лжецов» имеют большую зарплату и не более 30 «лжецов» всего. То есть лжецов всего 30.

Первое утверждение для «лжеца» с наиболее трудной работой среди всех «лжецов» ложно, поэтому существуют по меньшей мере 12 правдивых сотрудников, имеющих более трудную работу.

Первое утверждение для правдивого сотрудника с наименее сложной работой среди всех правдивых сотрудников верно, поэтому существует не более 12 правдивых сотрудников всего. То есть правдивых сотрудников ровно 12. Окончательно получаем, что в компании работают 42 сотрудника.

Ответ: 42 сотрудника.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	14
Ответ верный. Нет строгого обоснования, что лжецов 30 или что правдивых сотрудников 12.	±	11
Ответ верный. Утверждается, что лжецов 30, а правдивых сотрудников 12, но не доказаны оба эти факта.	+/2	7
Приведен верный ответ. В решении не указано, что лжецов 30, а правдивых сотрудников 12.	∓	3
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	14

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 359 Добавить в вариант

В классе 14 девочек. Каждая из них узнала, скольких девочек в классе зовут также как ее, и у скольких такая же фамилия, и выписала два числа на доску. Оказалось, что среди чисел на доске встречаются все числа от 0 до 6. Докажите, что найдутся две девочки в классе, у которых совпадают и имя, и фамилия.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	16
Доказательство приведено. Нет строгого обоснования отдельных фактов.	±	12
Доказательства нет. Определено количество множества девочек с одинаковой фамилией и множества с одинаковым именем.	+/2	8
Доказательства нет. Для множеств девочек с одинаковой фамилией и/или одинаковым именем определено количество элементов.	∓	3
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	16

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 375 Добавить в вариант

 ·  вверх (робот перемещается на соседнюю клетку сверху);

 ·  вниз (робот перемещается на соседнюю клетку снизу);

 ·  влево (робот перемещается на соседнюю клетку слева);

 ·  вправо (робот перемещается на соседнюю клетку справа).

Если, например, робот выполнит последовательность из четырех команд (вверх, вправо, вниз, влево), то он, очевидно, вернется в исходное положение, т. е. окажется в той же клетке, из которой начал движение. Сколько существует всего различных последовательностей из 8 команд, возвращающих робота в исходное положение?

Решение.

Для краткости команду влево будем обозначать Л, вправо – П, вверх – В, вниз – Н. Чтобы робот вернулся в исходное положение, необходимо и достаточно, чтобы ему было отдано команд Л столько же, сколько и команд П, а команд В – столько же, сколько и Н. Пусть k – количество команд Л в последовательности. Подсчитаем количество N_k искомых последовательностей для k от 0 до 4.

 ·  $k=0.$ Последовательность состоит только из команд В и Н. Так как их поровну, то на 4 местах из 8 должна быть команда В, а на оставшихся двух – Н. Выбрать 4 места из 8 можно $C_8 в степени 4$ способами. Следовательно, $N_0=C_8 в степени 4 =70;$

 ·  $k=1.$ Последовательность состоит из одной команды Л, одной П, а также трех В и трех Н. Разместить две команды Л и П на 8 позициях можно $C_8 в квадрате умножить на C_2 в степени 1$ способами: $C_8 в квадрате$ – число способов вообще выбрать 2 позиции из 8, $C_2 в степени 1 =2$ – число способов разместить на этих двух позициях команды Л и П. На оставшихся 6 позициях следует разместить 3 команды В, что можно сделать $C_6 в кубе$ способами. Поэтому $N_1=C_8 в квадрате умножить на C_2 в степени 1 умножить на C_6 в кубе =1120;$

 ·  $k=2.$ Здесь две Л, две П а также по 2 команды В и Н. Для Л и П имеем $C_8 в степени 4 умножить на C_4 в квадрате$ вариантов размещения. На оставшихся 4 позициях разместить 2 команды В можно $C_4 в квадрате$ способами. Значит, $N_2=C_8 в степени 4 умножить на C_4 в квадрате умножить на C_4 в квадрате =2520.$

Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что $N_3=N_1$ и $N_4=N_0.$ Таким образом, искомое число последовательностей равно $2 умножить на левая круглая скобка N_0 плюс N_1 правая круглая скобка плюс N_2=4900.$

Ответ: 4900.

Аналоги к заданию № 338: 375 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 451 Добавить в вариант

Вова играл старыми костяшками от домино, на которых стерлись все точки, так что они стали не отличимыми. Каждая костяшка представляет собой прямоугольник "2 на 1", а их число равно 24. Вова решил каждый день по новому раскладывать костяшки в виде дорожки "2 на 12", так чтобы рисунок раскладки никогда не повторялся. Сколько дней Вова сможет так раскладывать костяшки, пока все возможные раскладки не будут исчерпаны, если в день он делает одну раскладку?

Решение.

Будем полагать, что дорожки расположены горизонтально, длинной стороной вдоль оси абсцисс. Костяшки в таких дорожках бывают двух видов: вертикальные (расположенные поперек дорожки) и горизонтальные, расположенные вдоль дорожки.

Каждая вертикальная костяшка как бы "перерезает дорожку" и делит ее на две части, справа и слева от себя. Каждая горизонтальная костяшка обязательно имеет парную горизонтальную костяшку, вместе с которой она образует квадрат "2 на 2".

Действительно, если бы была пара горизонтальных костяшек, которые бы не образовывали квадрат (т. е. располагались так, как показано на рисунке), то обе части дорожки справа и слева от этой пары костяшек содержали бы нечетные количества костяшек и не могли бы быть покрыты костяшками.

Обозначим через F(n) число возможных замощений костяшками размером "2 на 1" дорожки размером "2 на n" . Тогда, очевидно, F(1) = 1, F(2) = 2, F(3) = 3. Каждое замощение дорожки "2 на n" имеет на правом своем конце или вертикальную костяшку (удалив которую можно получить замощение дорожки "2 на (n − 1) или пару горизонтальных костяшек (удалив которые можно получить замощение дорожки "2 на (n − 2)"). Это обстоятельство обосновывает формулу: $F левая круглая скобка n правая круглая скобка =F левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс F левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка ,$ т. е. последовательность F(n) является последовательностью Фибоначчи.

Ответ: F(12) = 233.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	16
Ответ верный. Приведены все основные логические шаги решения. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов.	±	12
Приведены все основные логические шаги решения. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. В результате вычислительной ошибки или описки может быть получен неверный ответ.	+/2	8
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении. Ответ отсутствует.	∓	4
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	16

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 459 Добавить в вариант

В фойе банка по кругу расставлены n стульев. На эти стулья хотят сесть n посетителей. Первый посетитель выбирает свой стул произвольно. Затем (k+1)-й посетитель садится на k-ое место справа от k-го посетителя (для $1 меньше или равно k меньше или равно n минус 1$ ). Никакой стул не может быть занят более, чем одним посетителем. Чему может быть равно n, если известно, что на каждом стуле в итоге оказался ровно один человек? Найдите все варианты.

Решение.

Если мы обозначим стулья за 0, 1, 2, …, n − 1, где стул, занятый первым посетителем обозначен за 0, то стул, занятый (k+1)-м посетителем обозначен за $\sum_r=0 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка r \pmodn.$ Напомним, что $\sum_r=0 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка r= дробь: числитель: k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ Так как два посетителя занимают одно место тогда и только тогда, когда найдутся два целых числа p и q между 0 и n − 1 такие, что $дробь: числитель: p левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: q левая круглая скобка q плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ делится на n. Без ограничения общности будем считать p > q.

Сначала рассмотрим случай n, не являющегося степенью 2. Запишем тогда 2n = uv, где u > v, причем одно из значений u или v есть степень 2, как минимум 2, и другое значение  — нечетное число, как минимум 3. Пусть $p= дробь: числитель: u плюс v минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $q= дробь: числитель: u минус v минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Так как числители  — четные числа, то p и q  — целые, а так как числители не превосходят 2u, то p и q  — различные целые числа от 0 до n − 1.

Имеем, $дробь: числитель: левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: uv, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2n, знаменатель: 2 конец дроби =n.$ То есть для n, не являющимся степенью 2, получаем более одного посетителя на данном стуле.

Теперь рассмотрим случай, когда n является степенью 2. Два посетителя сидят на одном стуле означает, что два целых числа p и q между 0 и n − 1 таковы, что $дробь: числитель: левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ делится на n. Разность двух множителей в числителе равна (p + q + 1) − (p − q) = 2q + 1, нечетное число. Это означает, что только один множитель может быть четным. Величина этого четного множителя не больше, чем p + q + 1, что меньше 2n. Таким образом, любой четный множитель в $дробь: числитель: левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ меньше, чем n. Если n  — степень 2, то $дробь: числитель: левая круглая скобка p плюс q плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ не может делиться на n, и каждый стул занят только одним посетителем.

Ответ: $2 в степени m ,$ где m = 0, 1, 2, ... (1, 2, 4, 8, ...).

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	16
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный.	±	12
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. ИЛИ Верно рассмотрены частные случаи.	∓	4
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 494 Добавить в вариант

Хромой король может ходить вправо, вниз, вправо вниз и влево вниз на одну клетку. Сколько у него способов добраться из левой верхней клетки доски $3\times100$ в правую нижнюю?

Решение.

Запишем в каждую клетку таблицы количество способов туда добраться. Тогда в левом верхнем углу будет стоять число 1, а в каждой из остальных клеток сумма трех соседних чисел сверху и числа слева.

1	1	1	1	1	...	1	1
2	5	8	11	14	...	296	298
7	22	46	79	121	...	?	?

В каждую клетку первой строки можно попасть только слева, поэтому первая строка заполнена единицами. Вторая строка начинается с двойки, а каждое следующее число, кроме последнего, на три больше предыдущего. Последнее число во второй строке больше предыдущего только на 2, потому что в эту клетку нельзя попасть слева сверху. Числа в третьей строчке строятся по следующему закону:

7  =  2 + 5,

22  =  7 + (2 + 5 + 8)  =  (2 + 5) + (2 + 5 + 8),

46  =  22 + (5 + 8 + 11)  =  (2 + 5)+ (2 + 5 + 8) + (5 + 8 + 11)

и так далее.

Последнее число равно

(2 + 5)+ (2 + 5 + 8) + (5 + 8 + 11) + ... + (293 + 296 + 298) + (296 + 298).

В этой сумме 2 и 298 учитываются по два раза, а все остальные числа по три. Значит, искомое число составляет

$2 левая круглая скобка 2 плюс 298 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка 5 плюс 8 плюс ... плюс 296 правая круглая скобка =600 плюс 3 умножить на 301 умножить на 49=44847.$

Альтернативный способ решения состоит в том, чтобы заметить, что хромой король делает всего два хода вниз. После этого можно посчитать, сколькими способами можно выбрать момент, когда делаются эти ходы — это количество способов зависит от того, какие именно из возможных ходов делаются. Это решение требует большего разбора случаев.

Ответ: 44 847.

Аналоги к заданию № 494: 512 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 512 Добавить в вариант

Хромой король может ходить вправо, вниз, вправо вниз и влево вниз на одну клетку. Сколько у него способов добраться из левой верхней клетки доски $3\times200$ в правую нижнюю?

Решение.

Запишем в каждую клетку таблищы количество способов туда добраться. Тогда в левом верхнем углу будет стоять число 1, а в каждой из остальных клеток будет сумма трёх соседних чисел сверху и числа слева.

1	1	1	1	1	...	1	1
2	5	8	11	14	...	596	598
7	22	46	79	121	...	?	?

В каждую клетку первой строки можно попасть только слева, поэтому первая строка заполнена единицами. Вторая строка начинается с двойки, а каждое следующее число, кроме последнего, на три больше предыдущего. Последнее число во втрой строке больше предыдущего только на два, потому что в эту клетку нельзя попасть слева сверху.

Числа в третьей строчке строятся по следуюшему закону:

$7=2 плюс 5,$

$22=7 плюс левая круглая скобка 2 плюс 5 плюс 8 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 плюс 5 плюс 8 правая круглая скобка ,$

$46=22 плюс левая круглая скобка 5 плюс 8 плюс 11 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 плюс 5 плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 5 плюс 8 плюс 11 правая круглая скобка$

и так далее. Последнее число равно

$левая круглая скобка 2 плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 плюс 5 плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 5 плюс 8 плюс 11 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 593 плюс 596 плюс 598 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 596 плюс 598 правая круглая скобка .$

В этой сумме 2 и 598 учитываются два раза, а все остальные числа по три раза. Значит, искомое число составляет

$2 левая круглая скобка 2 плюс 598 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка 5 плюс 8 плюс \ldots плюс 596 правая круглая скобка =1200 плюс 3 умножить на 601 умножить на 99=179 697.$

Альтернативный способо решения заключается в том, чтобы заметить, что хромой король делает всего два хода вниз. После этого можно посчитать, сколько способо выбрать момент, в который делаются эти ходы это количество способов зависит от того, какие именно из возможных ходов делаются. Это решение требует большого разбора случаев.

Ответ: 179 697.

Аналоги к заданию № 494: 512 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 535 Добавить в вариант

Куб $8\times 8\times 8$ состоит из 512 маленьких кубиков $1\times 1\times 1$ (назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань. Таким образом, у каждой ячейки не более не более 6 соседних.

В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее 35. Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше 2560.

Аналоги к заданию № 535: 544 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 544 Добавить в вариант

Куб $7\times 7\times 7$ состоит из 343 маленьких кубиков $1\times 1\times 1$ (назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань. Таким образом, у каждой ячейки не более не более 6 соседних.

В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее 10. Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше 490.

Аналоги к заданию № 535: 544 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 616 Добавить в вариант

На электронных часах Вася увидел время: $\overlineab:\overlinecd$ (если часов меньше 10, то a = 0). Оказалось, что a + bd + c = (a + d)(b + c). Верно ли, что Вася точно увидел на часах цифру ноль, если время на часах показывается в 24-часовом формате?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	10
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования Ответ верный.	±	7
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования.	+/2	5
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 622 Добавить в вариант

По кругу сидят 10 или 11 человек так, что расстояния между любыми двумя соседями одинаковое. Затем эти люди пересели так, что расстояние по часовой стрелке между любыми двумя людьми изменилось, а расстояние между соседями по-прежнему оказалось одинаковым. Сколько человек сидело по кругу?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	16
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования при верном ответе.	±	12
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении, но отсутствуют важные обоснования при верном ответе.	+/2	8
Ответ верный. Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	4
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 788 Добавить в вариант

На доске написано число 2017. Петя и Вася играют в следующую игру: за один ход можно вычесть из написанного на доске числа любой его натуральный делитель, кроме него самого, и записать результат этого вычитания на доске вместо исходного числа. Начинает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Аналоги к заданию № 788: 801 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 801 Добавить в вариант

На доске написано число 2016. Петя и Вася играют в следующую игру: за один ход можно вычесть из написанного на доске числа любой его натуральный делитель, кроме него самого, и записать результат этого вычитания на доске вместо исходного числа. Начинает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Аналоги к заданию № 788: 801 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 30 № 1015 Добавить в вариант

а)  Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица, а два оставшихся равны друг другу.

б)  Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица.

в)  Сколько различных (т. е. различимых по внешнему виду) каркасов треугольных пирамид можно составить из зеленых стержней длиной по 33 см каждый и красных стержней длиной по 20 см?

Решение.

а-б) Прежде всего следует учесть, что имеются два различных варианта расположения единичных ребер. В первом из них в пирамиде имеются три таких ребра, исходящих из одной вершины. В этом случае очевидно, что пирамида имеет наибольший объем, если одно из этих ребер перпендикулярно двум другим, поэтому ее объем равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 корень из 3 .$ Теперь рассмотрим второй случай. Рассмотрим пирамиду, в которой $AB=BC=CD=DA=1.$ Фиксируем ребро $AC=x.$ Пирамида будет иметь наибольший объем, если плоскости граней ABC и ABD перпендикулярны друг другу. Поскольку высоты этих граней равны $h= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента ,$ то $V левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби левая круглая скобка x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$ Дифференцируя, получаем, что наибольшее значение объема достигается при $x= дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби корень из 3 :$ $V_\max= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27 корень из 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 корень из 3 .$ Для решения пункта а) задачи осталось заметить, что $BD=h корень из 2 = дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби корень из 3 =AC.$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 корень из 3 .$

в)  Девять пирамид. Давайте вначале решим более простую задачу. Предположим, что зеленые и красные стержни имеют одинаковую длину. Составим таблицу, в которой в верхней строке указано число зеленых стержней, а в нижней  — число различно окрашенных пирамид с таким числом зеленых стержней.

Не кажется ли вам странным число «4» в средней клетке этой таблиц? Действительно, три зеленых стержня могут:

а)  выходить из одной вершины;

б)  образовывать треугольник; и

в)  образовывать незамкнутую пространственную ломаную. Однако оказывается, что в последнем случае имеются две различимые конфигурации, так сказать, «правая» и «левая» (см. рисунок)!

Задача в ее исходной постановке отличается от только что разобранной тем, что в необходимо исследовать вопрос о существовании пирамиды с данными длинами ребер в каждом из рассмотренных выше случаев. К примеру, пирамида, в которой отрезки длины a образуют треугольник основания, а отрезки длины b выходят из вершины пирамиды, существует тогда и только тогда когда выполнено неравенство $a меньше b корень из 3 .$ Поскольку в нашем случае $20 корень из 3 больше 34 больше 33,$ то существуют пирамиды как с зеленым, так и с красным основаниями.

Далее, пирамида, в которой одно ребро имеет длину a, о остальные  — длину b, также существует тогда и только тогда, когда выполнено неравенство $a меньше b корень из 3 ,$ поскольку для этого нужно, чтобы $CD меньше b$ (см. рисунок).

Исследуем теперь возможность построения пирамиды, три ребра которой по 20 см каждый образуют незамкнутую ломаную. Также как и выше, рассмотрим общий случай: в пирамиде имеются по три ребра длины a и b, образующие трехзвенные ломаные. Рассмотрим две соседние грани пирамиды и развернем их на плоскость двумя способами. Нетрудно видеть, что для существования такой пирамиды необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства $CD' меньше a меньше CD.$ Прямые вычисления показывают, что $a меньше CD$ при любых a и b, а второе неравенство равносильно тому, что $|a в квадрате минус b в квадрате | меньше ab.$ В нашей задаче $33 в квадрате минус 20 в квадрате =13 умножить на 53=689 больше 20 умножить на 33,$ поэтому пирамиды, в которой три красных ребра образовывали бы незамкнутую ломаную, не существует. Кстати, последнее неравенство равносильно тому, что $дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби корень из 5 плюс 1 меньше дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби меньше дробь: числитель: корень из 5 плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Наконец, не реализуется еще один вариант расположения ребер данной длины (найдите его самостоятельно).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1181 Добавить в вариант

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от шестнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 276, а сумма расстояний от этих же шестнадцати чисел до некоторого числа b равна 748. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 62,5.

Аналоги к заданию № 1181: 1188 Все

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 513 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …