а-б) Пре­жде всего сле­ду­ет учесть, что име­ют­ся два раз­лич­ных ва­ри­ан­та рас­по­ло­же­ния еди­нич­ных ребер. В пер­вом из них в пи­ра­ми­де име­ют­ся три таких ребра, ис­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны. В этом слу­чае оче­вид­но, что пи­ра­ми­да имеет наи­боль­ший объем, если одно из этих ребер пер­пен­ди­ку­ляр­но двум дру­гим, по­это­му ее объем равен Те­перь рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду, в ко­то­рой Фик­си­ру­ем ребро Пи­ра­ми­да будет иметь наи­боль­ший объем, если плос­ко­сти гра­ней ABC и ABD пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. По­сколь­ку вы­со­ты этих гра­ней равны то Диф­фе­рен­ци­руя, по­лу­ча­ем, что наи­боль­шее зна­че­ние объ­е­ма до­сти­га­ет­ся при Для ре­ше­ния пунк­та а) за­да­чи оста­лось за­ме­тить, что

Ответ:

в)  Де­вять пи­ра­мид. Да­вай­те вна­ча­ле решим более про­стую за­да­чу. Пред­по­ло­жим, что зе­ле­ные и крас­ные стерж­ни имеют оди­на­ко­вую длину. Со­ста­вим таб­ли­цу, в ко­то­рой в верх­ней стро­ке ука­за­но число зе­ле­ных стерж­ней, а в ниж­ней  — число раз­лич­но окра­шен­ных пи­ра­мид с таким чис­лом зе­ле­ных стерж­ней.

Не ка­жет­ся ли вам стран­ным число «4» в сред­ней клет­ке этой таб­лиц? Дей­стви­тель­но, три зе­ле­ных стерж­ня могут:

а)  вы­хо­дить из одной вер­ши­ны;

б)  об­ра­зо­вы­вать тре­уголь­ник; и

в)  об­ра­зо­вы­вать не­за­мкну­тую про­стран­ствен­ную ло­ма­ную. Од­на­ко ока­зы­ва­ет­ся, что в по­след­нем слу­чае име­ют­ся две раз­ли­чи­мые кон­фи­гу­ра­ции, так ска­зать, «пра­вая» и «левая» (см. ри­су­нок)!

За­да­ча в ее ис­ход­ной по­ста­нов­ке от­ли­ча­ет­ся от толь­ко что разо­бран­ной тем, что в не­об­хо­ди­мо ис­сле­до­вать во­прос о су­ще­ство­ва­нии пи­ра­ми­ды с дан­ны­ми дли­на­ми ребер в каж­дом из рас­смот­рен­ных выше слу­ча­ев. К при­ме­ру, пи­ра­ми­да, в ко­то­рой от­рез­ки длины a об­ра­зу­ют тре­уголь­ник ос­но­ва­ния, а от­рез­ки длины b вы­хо­дят из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, су­ще­ству­ет тогда и толь­ко тогда когда вы­пол­не­но не­ра­вен­ство По­сколь­ку в нашем слу­чае то су­ще­ству­ют пи­ра­ми­ды как с зе­ле­ным, так и с крас­ным ос­но­ва­ни­я­ми.

Далее, пи­ра­ми­да, в ко­то­рой одно ребро имеет длину a, о осталь­ные  — длину b, также су­ще­ству­ет тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­не­но не­ра­вен­ство по­сколь­ку для этого нужно, чтобы (см. ри­су­нок).

Ис­сле­ду­ем те­перь воз­мож­ность по­стро­е­ния пи­ра­ми­ды, три ребра ко­то­рой по 20 см каж­дый об­ра­зу­ют не­за­мкну­тую ло­ма­ную. Также как и выше, рас­смот­рим общий слу­чай: в пи­ра­ми­де име­ют­ся по три ребра длины a и b, об­ра­зу­ю­щие трех­звен­ные ло­ма­ные. Рас­смот­рим две со­сед­ние грани пи­ра­ми­ды и раз­вер­нем их на плос­кость двумя спо­со­ба­ми. Не­труд­но ви­деть, что для су­ще­ство­ва­ния такой пи­ра­ми­ды не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы были вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства Пря­мые вы­чис­ле­ния по­ка­зы­ва­ют, что при любых a и b, а вто­рое не­ра­вен­ство рав­но­силь­но тому, что В нашей за­да­че по­это­му пи­ра­ми­ды, в ко­то­рой три крас­ных ребра об­ра­зо­вы­ва­ли бы не­за­мкну­тую ло­ма­ную, не су­ще­ству­ет. Кста­ти, по­след­нее не­ра­вен­ство рав­но­силь­но тому, что

На­ко­нец, не ре­а­ли­зу­ет­ся еще один ва­ри­ант рас­по­ло­же­ния ребер дан­ной длины (най­ди­те его са­мо­сто­я­тель­но).