PDF-версии: 
а) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица, а два оставшихся равны друг другу.
б) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину единица.
в) Сколько различных (т. е. различимых по внешнему виду) каркасов треугольных пирамид можно составить из зеленых стержней длиной по 33 см каждый и красных стержней длиной по 20 см?
Решение. а-б) Прежде всего следует учесть, что имеются два различных варианта расположения единичных ребер. В первом из них в пирамиде имеются три таких ребра, исходящих из одной вершины. В этом случае очевидно, что пирамида имеет наибольший объем, если одно из этих ребер перпендикулярно двум другим, поэтому ее объем равен 
Теперь рассмотрим второй случай. Рассмотрим пирамиду, в которой 
Фиксируем ребро 
Пирамида будет иметь наибольший объем, если плоскости граней ABC и ABD перпендикулярны друг другу. Поскольку высоты этих граней равны 
то 
Дифференцируя, получаем, что наибольшее значение объема достигается при 
Для решения пункта а) задачи осталось заметить, что 
Ответ: 
в) Девять пирамид. Давайте вначале решим более простую задачу. Предположим, что зеленые и красные стержни имеют одинаковую длину. Составим таблицу, в которой в верхней строке указано число зеленых стержней, а в нижней — число различно окрашенных пирамид с таким числом зеленых стержней.
Не кажется ли вам странным число «4» в средней клетке этой таблиц? Действительно, три зеленых стержня могут:
а) выходить из одной вершины;
б) образовывать треугольник; и
в) образовывать незамкнутую пространственную ломаную. Однако оказывается, что в последнем случае имеются две различимые конфигурации, так сказать, «правая» и «левая» (см. рисунок)!
Задача в ее исходной постановке отличается от только что разобранной тем, что в необходимо исследовать вопрос о существовании пирамиды с данными длинами ребер в каждом из рассмотренных выше случаев. К примеру, пирамида, в которой отрезки длины a образуют треугольник основания, а отрезки длины b выходят из вершины пирамиды, существует тогда и только тогда когда выполнено неравенство 
Поскольку в нашем случае 
то существуют пирамиды как с зеленым, так и с красным основаниями.
Далее, пирамида, в которой одно ребро имеет длину a, о остальные — длину b, также существует тогда и только тогда, когда выполнено неравенство 
поскольку для этого нужно, чтобы 
(см. рисунок).
Исследуем теперь возможность построения пирамиды, три ребра которой по 20 см каждый образуют незамкнутую ломаную. Также как и выше, рассмотрим общий случай: в пирамиде имеются по три ребра длины a и b, образующие трехзвенные ломаные. Рассмотрим две соседние грани пирамиды и развернем их на плоскость двумя способами. Нетрудно видеть, что для существования такой пирамиды необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства 
Прямые вычисления показывают, что 
при любых a и b, а второе неравенство равносильно тому, что 
В нашей задаче 
поэтому пирамиды, в которой три красных ребра образовывали бы незамкнутую ломаную, не существует. Кстати, последнее неравенство равносильно тому, что 
Наконец, не реализуется еще один вариант расположения ребер данной длины (найдите его самостоятельно).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |