РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 513 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …

Добавить в вариант

Тип 0 № 1188 Добавить в вариант

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двенадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 358, а сумма расстояний от этих же двенадцати чисел до некоторого числа b равна 212. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 114,5.

Аналоги к заданию № 1181: 1188 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1195 Добавить в вариант

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тринадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 260, а сумма расстояний от этих же тринадцати чисел до числа a² равна 1768. Найдите все возможные значения a.

Решение.

Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, $k плюс 1,$ ..., $k плюс 12.$ Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка ,$ то сумма расстояний от него до данных тринадцати чисел не превосходит $дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12=78$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 12, сумма расстояний до $k плюс 1$ и $k плюс 11$ не превосходит 12, сумма расстояний до $k плюс 2$ и $k плюс 10$ также не превосходит 12 и т. д.; расстояние до $k плюс 6$ не превосходит половины длины отрезка между числами, т. е. 6). Следовательно, числа a и $a в квадрате$ лежат вне отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка .$ Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

1)  Оба числа a и $a в квадрате$ лежат справа от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус k минус 6 = 1 3 6 , a минус k минус 6 = 2 0 конец системы . равносильно система выражений a минус k минус 6 = 2 0 , a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус a минус 1 1 6 = 0 . конец системы . равносильно система выражений k=a минус 26, a= дробь: числитель: 1 \pm корень из: начало аргумента: 465 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы ....$

Тогда из первого уравнения системы следует, что k  — иррациональное число, что не удовлетворяет условию задачи.

2)  Оба числа a и $a в квадрате$ лежат слева от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений k плюс 6 минус a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 3 6 , k плюс 6 минус a = 2 0 конец системы . равносильно система выражений k плюс 6 минус a=20, a в квадрате минус a плюс 116=0. конец системы .$

Дискриминант квадратного уравнения отрицателен, поэтому решений нет.

3)  Число a лежит слева, а $a в квадрате минус$ справа от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус k минус 6 = 1 3 6 , k плюс 6 минус a = 2 0 конец системы . равносильно система выражений k плюс 6 минус a = 2 0 , a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус a минус 1 5 6 = 0 конец системы . равносильно система выражений k=a плюс 14, совокупность выражений a= минус 12, a=13. конец системы . конец совокупности .$

Убеждаемся, что при обоих значениях a число k является натуральным $левая круглая скобка a= минус 12 \Rightarrow k=2 ;$ $a=13 \Rightarrow k=27 правая круглая скобка ,$ следовательно, оба значения a подходят.

4)  Число a лежит справа, а $a в квадрате$   — слева от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 12 правая квадратная скобка .$ Очевидно, этот случай не подходит, так как если $a больше a в квадрате ,$ то оба числа a и $a в квадрате$ лежат на отрезке $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка ,$ но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число.

Итак, возможны два случая: $a= минус 12$ и $a=13.$

Ответ: $a= минус 12,$ $a=13.$

Критерии проверки:

Указано, что числа a и a² лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.

Получена формула суммы расстояний от чисел a и a² до данных последовательных натуральных чисел — 1 балл ИЛИ найдены расстояния от a и a² до ближайших последовательных чисел — 1 6алл. (Этот балл ставится при условии, что выполнен предыдущий пункт.)

Случай $a в квадрате меньше k меньше \ldots меньше k плюс p меньше a$ не разобран — баллы не снимаются.

При наличии отбора:

а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и a² (оба числа справа от отрезка; оба слева от отрезка; a² справа от отрезка, a слева от отрезка) — 1 балл;

б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a² — 2 балла;

в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a² — 4 балла.

При отсутствии отбора:

а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и a² — 0 баллов;

б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a² — 1 балл;

в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a² — 2 балла.

Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2, балла с общей суммы.

Аналоги к заданию № 1195: 1202 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1202 Добавить в вариант

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двенадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа

Решение.

Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, $k плюс 1,$ ..., $k плюс 11 .$ Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка ,$ то сумма расстояний от него до данных двенадцати чисел не превосходит $6 умножить на 11=66$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 11, сумма расстояний до $k плюс 1$ и $k плюс 10$ не превосходит 11, сумма расстояний до $k плюс 2$ и $k плюс 19$ также не превосходит 11 и т. д.). Следовательно, числа a и $a в квадрате$ лежат вне отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка .$ Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

$|12 a минус k минус левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус \ldots минус левая круглая скобка k плюс 11 правая круглая скобка |=|12 a минус 12 k минус 66| .$

Аналогично, сумма расстояний от числа $a в квадрате$ до каждого из данных чисел равна $\left|12 a в квадрате минус 12 k минус 66| .$ Получаем систему уравнений

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

1)  Оба числа a и $a в квадрате$ лежат справа от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений 2 a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 2 k минус 1 1 = 2 8 9 , 2 a минус 2 k минус 1 1 = 5 5 1 конец системы . равносильно система выражений 2 a минус 2 k минус 11=551, a в квадрате минус a плюс 131=0. конец системы . ..$

Дискриминант квадратного уравнения отрицателен, поэтому решений нет.

2)  Оба числа a и $a в квадрате$ лежат слева от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений 2 k плюс 1 1 минус 2 a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 2 8 9 , 2 k плюс 1 1 минус 2 a = 5 5 1 конец системы . равносильно система выражений 2 k минус 2 a = 5 4 0 , a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус a минус 1 3 1 = 0 . конец системы . равносильно система выражений k=a плюс 270, a= дробь: числитель: 1 \pm 5 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . ... \endalign }.$

Тогда из первого уравнения системы следует, что k - иррациональное число, что не удовлетворяет условию задачи.

3)  Число а лежит слева, а $a в квадрате минус$ справа от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка .$ Тогда

$система выражений 2 a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 2 k минус 1 1 = 2 8 9 , 2 k плюс 1 1 минус 2 a = 5 5 1 конец системы . равносильно система выражений 2 k минус 2 a = 5 4 0 , a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус a минус 4 2 0 = 0 конец системы . равносильно система выражений k=a плюс 270, совокупность выражений a= минус 20, a=21. конец системы . . конец совокупности . ...$

Убеждаемся, что при обоих значениях a число k является натуральным $левая круглая скобка a= минус 20 \Rightarrow k=250;$ $a=21 \Rightarrow k=291 правая круглая скобка ,$ следовательно, оба значения a подходят.

4)  Число а лежит справа, а $a в квадрате минус$ слева от отрезка $левая квадратная скобка k; k плюс 11 правая квадратная скобка .$ Очевидно, этот случай не подходит, так как если $a больше a в квадрате ,$ то оба числа a и $a в квадрате$ лежат на отрезке $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка ,$ но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число.

Итак, возможны два случая: $a= минус 20$ и $a=21 .$

Ответ: $a= минус 20, a=21.$

Критерии проверки:

Указано, что числа a и a² лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.

Случай $a в квадрате меньше k меньше \ldots меньше k плюс p меньше a$ не разобран — баллы не снимаются.

При наличии отбора:

б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a² — 2 балла;

в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a² — 4 балла.

При отсутствии отбора:

а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и a² — 0 баллов;

б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a² — 1 балл;

в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a² — 2 балла.

Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2, балла с общей суммы.

Аналоги к заданию № 1195: 1202 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1263 Добавить в вариант

На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке (60; 45). Найдите количество таких квадратов.

Аналоги к заданию № 1263: 1270 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1270 Добавить в вариант

На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 40). Найдите количество таких квадратов.

Аналоги к заданию № 1263: 1270 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1623 Добавить в вариант

В стране «Энергетика» 150 заводов и некоторые из них соединены автобусными маршрутами, которые не имеют остановок нигде, кроме этих заводов. Оказалось, что любые четыре завода можно разбить на две пары так, что между заводами каждой пары ходит автобус. Найдите наименьшее число пар заводов, которые могут быть соединены автобусными маршрутами.

Решение.

Предположим, что какой-то завод X соединен автобусными маршрутами не более чем с 146 заводами. Тогда четверка заводов, состоящая из X и каких-то трех, с которыми он не соединен, не удовлетворяет условию задачи, поскольку X не может быть в паре ни с одним из трех оставшихся заводов. Поэтому каждый завод соединен хотя бы с 147 заводами. Следовательно, всего пар заводов, соединенных автобусными маршрутами, не меньше, чем

$дробь: числитель: 147 умножить на 150, знаменатель: 2 конец дроби =11 025.$

Покажем теперь, что может быть ровно 11 025 пар заводов. Занумеруем заводы числами от 1 до 150 и соединим автобусными маршрутами вое заводы, кроме первого и 150-го, а также заводов, номера которых отличаются на единицу. Проверим, что эта конструкция удовлетворяет условию задачи. Поскольку каждый завод соединен автобусными маршрутами с 147 заводами, общее количество пар соединенных заводов в точности и равно

$дробь: числитель: 147 умножить на 150, знаменатель: 2 конец дроби =11 025 .$

Возьмем теперь любую четверку заводов. Возможны два случая.

1)  Есть завод, не соединенный с двумя из трех остальных заводов. Пусть завод A не соединен с заводами В и C, но cоединен с заводом D. Тогда заводы В и С должны быть cоединены между cобой, так как остатки от деления их номеров на 150 различаются на 2. Поэтому пары (A, D) и (B, C) нам подходят.

2)  Во заводы соединены с не менее чем двумя из трех остальных заводов. Пусть завод А соединен с заводам и В и С. По предположению завод D должен быть cоединен с В или С. Если он соединен с В. то нам подойдут пары (A, C) и (B, D) а если с C, то пары (A, B) и (C, D).

Ответ: 11 025.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1628 Добавить в вариант

Докажите, что в любом году найдется 13-е число, приходящееся на пятницу.

Решение.

Чтобы 13-е число пришлось на пятницу, месяц должен начинаться с воскресенья. Докажем, что в любом году найдется месяц, который начинается с воскресенья. Занумеруем дни недели числами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Здесь за номером 0 может «скрываться» любой день недели, главное, чтобы они шли по порядку. Например, вторник  — 0, среда  — 1, четверг  — 2, пятница  — 3, суббота  — 4, воскресенье  — 5, понедельник  — 6. Високосные и невисокосные года придется рассматривать отдельно.

1)  Рассмотрим невисокосный год. В месяце может быть 28, 30 и 31 день. Эти числа при делении на 7 дают в остатке соответственно 0, 2 и 3. Пусть январь начинается с дня 0, тогда февраль начинается с дня 3, март тоже  — с дня 3, апрель  — с дня 6, май  — c дня 1, июнь  — с дня 4, июль  — с дня 6, август  — с дня 2, сентябрь  — с дня 5. Итак, уже нашлись месяцы, начинающиеся с каждого дня недели, в том числе и с воскресенья. Следовательно, в каждом невисокосном году есть пятница, 13-е.

2)  Рассмотрим високосный год. Пусть январь начинается с дня 0, тогда февраль начинается с дня 3, март  — с дня 4, апрель  — с дня 0, май  — с дня 2, июнь  — с дня 5, июль  — с дня 0, август  — с дня 3, сентябрь  — с дня 6, октябрь  — с дня 1. Итак, снова нашлись месяцы, начинающиеся с каждого дня недели, в том числе и с воскресенья. Следовательно, и в каждом високосном году есть пятница, 13-е.

Значит, в любом году найдется 13-е число месяца, приходящееся на пятницу.