РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 297 Добавить в вариант

Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия: 1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число; 2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число. (Например, если к первой строке таблицы A прибавить третью строку, умноженную на 2, то получится таблица, изображенная на рисунке под словом пример.) Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.

Таблица A

1	0	0	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Таблица B

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

Пример

1	0	6	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Спрятать решение

Решение.

Для таблицы 2 на 2 вида $левая круглая скобка \beginarraylla b c d\endarray правая круглая скобка ,$ где $a, b, c, d принадлежит R$ число ad – bc будем называть определителем этой таблицы. Пусть в составленной из целых чисел таблице

$левая круглая скобка \beginarraylllll a_11 a_12 a_13 a_14 a_15 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

у любой подтаблицы размера 2 на 2 (то есть подтаблицы вида

$левая круглая скобка \beginarraycca_i, j a_i, j плюс k a_i плюс k, j a_i плюс k, j плюс k\endarray правая круглая скобка ,$

где $i, j, i плюс k, j плюс k принадлежит левая фигурная скобка 1, \ldots, 5 правая фигурная скобка правая круглая скобка$ определитель делится на целое число m. Проделаем с таблицей (1) одно из указанных в задаче действий. Тогда у получившейся в результате таблицы определитель любой ее подтаблицы размера 2 на 2 также будет на m. Действительно, проведем доказательство данного факта для действия 1 из условия задачи (для столбцов доказательство аналогично). Пусть, без ограничения общности, к первой строке прибавляется вторая, умноженная на целое число b:

$левая круглая скобка \beginarrayccccc a_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_13 плюс b a_23 a_14 плюс b a_24 a_15 плюс b a_25 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

В получившейся таблице, все подтаблицы 2 на 2, не содержащие элементы первой строки таблицы (2), остались без изменения, и потому их определитель, естественно, на m по-прежнему делится. Поэтому проверим, что в таблице (2) определители подтаблиц 2 на 2, включающие элементы первой строки, делятся на m. Это нужно проверить в двух случаях: 1) подтаблица 2 на 2 составлена из элементов первой и второй строки таблицы (2) и 2) таблица 2 на 2 составлена из элементов первой и еще какой-то (отличной от второй) строки таблицы (2).

Случай 1. Определитель таблицы

$левая круглая скобка \beginarrayccca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_21 a_22\endarray правая круглая скобка$

равен

$a_22 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_21 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка =a_11 a_22 минус a_21 a_12,$

что совпадает с определителем соответствующей подтаблицы таблицы (1), а значит делится на m по условию.

Случай 2. Рассмотрим подтаблицу, составленную из элементов первой и, например, третьей строки:

$левая круглая скобка \beginarraycca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_31 a_32\endarray правая круглая скобка .$

Ее определитель

$a_32 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_31 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

равен

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

$a_32 a_11 минус a_31 a_12 плюс b левая круглая скобка a_32 a_21 минус a_31 a_22 правая круглая скобка .$

Числа $a_32 a_11 минус a_31 a_12$ и $a_32 a_21 минус a_31 a_22$ представляют собой определи подтаблиц таблицы (1), а значит, делятся на m. Следовательно, на m делится и определитель (3).

Остается заметить, что определители всех подтаблиц 2 на 2 таблицы А делятся на 3, в то время как таблица В содержит подтаблицу (выделена серым), определитель которой на 3 не делится. Значит, получить таблицу В из таблицы А указанными действиями нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Разное. Да или нет?, Разное. Логические задачи, Разное. Числовые таблицы

Спрятать решение · Помощь