Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–90
Добавить в вариант
так как нас интересуют лишь положительные значения x.
медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы; так что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе.
и 
градусов соответственно, поэтому треугольники МСН и МСВ равны по сторонам 
и углам 
между ними. B частности, 
и 
поэтому треугольники МАB и CAB равны по сторонам 
и 
и углам MAB и CAP между ними. Следовательно, равны и их третьи стороны МВ и CP, то есть 
что и требовалось доказать.
Координаты точек М и Н в таком случае равны
и 
Координаты точки T — середины гипотенузы АВ равны 
а вектор ТР перпендикулярен вектору 
и в 
раз короче его, поэтому имеет координаты 
Следовательно, вектор СР имеет координаты 
равную длине вектора МH, что и требовалось доказать.
или 
3 балла. B координатном и тригонометрических решениях наличие любых ошибок, кроме простейших арифметических в конце вычислений: 0 баллов. При наличии простейших арифметических ошибок: снимаем 1−2 балла.
равна половине длины 
а длина AQ вдвое больше длины 
Следовательно, длина стороны AB равна 
Следовательно, 
a высота из вершины I равна 
Эта высота и отрезки IP и IQ равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому 
откуда Пусть Р — основание высоты, опущенной из вершины А прямоугольного треугольника АВС на его гипотенузу ВС, а М — середина отрезка СР. Обозначим за Е точку на продолжении стороны АВ за точку В такую, что АВ = ВЕ. Доказать, что прямые ЕР и АМ перпендикулярны
и CM:AP. Следовательно, в треугольниках CMA и APE равны отношения соответствующих сторон 
и 
прилежащих к равным углам MCA = MCN и PAE = PAB. Значит, треугольники CMA и APE тоже подобны, а их соответствующие углы МАС и РЕА равны. Тогда величина угла АEР равна величине соответствующего ему угла МАС, а сумма углов ЕАМ и АЕР равна 90 градусов, следовательно, угол между прямыми ЕР и АМ равен углу ЕАС, то есть 90 градусов, что и требовалось доказать.
Найдите отношение 
Рассмотрим треугольник EBC. В нём точка M — пересечение медиан CA и ED. По свойству точки пересечения медиан, 
Но 
(из равенства треугольников AMB и 
Три грани тетраэдра — прямоугольные треугольники, а четвертая грань — не тупоугольный треугольник. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы и четвертая грань была прямоугольным треугольником, является предложение, что ровно два из плоских углов при одной вершине тетраэдра — прямые.
(см. рис.).
Ввиду симметрии все равно, какой из оставшихся углов грани ABC прямой. Пусть 
Тогда: 
то в этом случае легко установить, что треугольник ABC — тупоугольный. Например, так: 
и 
о. Допустим, что 
Для случая δ1 имеем: 
и 
возведя в квадрат, получим 2P. Но зная сумму и произведение чисел а и b, мы можем найти их как корни квадратного уравнения с соответствующими коэффициентами. По заданным площади и периметру коэффициенты определяются однозначно. Значит, катеты тоже определяются однозначно, и треугольники равны.
(например, в силу симметрии). Наконец, заметим, что CM — средняя линия в треугольнике AA'B, а значит, параллельна A'B. Следовательно, углы KA'B и KMC равны как накрест лежащие при секущей A'M.В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На отрезке BH отмечена точка K, а на отрезке CH — точка M так, что BK : KH = 1 : 2 и CM : MH = 1 : 5. Точка O — точка пересечения высот треугольника AKM. Найдите AO : OH.
(см. рис.). Высота AH к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 
отсюда 
и 
тогда 
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На отрезке BH отмечена точка K, а на отрезке CH — точка M так, что BK : KH = 1 : 4 и CM : MH = 1 : 5. Точка O — точка пересечения высот треугольника AKM. Найдите AO : OH.
и 
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На отрезке BH отмечена точка K, а на отрезке CH — точка M так, что BK : KH = 1 : 2 и CM : MH = 1 : 10. Точка O — точка пересечения высот треугольника AKM. Найдите AO : OH.
отсюда
тогда 
а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?
то есть 
и 
если 
(то есть 
и n и k — четные. Возможные значения n: 
Тогда 
Тогда 
Внутри прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC взята точка M так, что площади треугольников ABM и BCM составляют треть и четверть площади треугольника ABC соответственно. Найти BM, если AM = 60 и CM = 70. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
и 
получим 
В ответ записываем ближайшее целое.