Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–90
Добавить в вариант
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как произведения его катетов, деленное 
и высота 
В прямоугольном треугольнике на большем катете, как на диаметре, построена полуокружность. Определите длину этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см. (Считать 
и 
Найти: 
Треугольник BKC — прямоугольный, так как угол BKC опирается на диаметр. Тогда 
или 
следовательно, 
Так как π принять за 3,14 получаем ответ 
Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведенными к его катетам.
получаем: 
или 
Тогда 
и 
или 
и 
По теореме Пифагора найдем медианы AN и CK: 
и 
Найти: AC и CB.
и 
Заметим, что четырёхугольник NOMS — квадрат. Пусть 
и 
следовательно, по т. Пифагора 
и 
получаем
и 
и 
По теореме Пифагора гипотенуза исходного треугольника равна 
а радиус вписанной в него окружности в силу подобия равен 5. Пользуясь равенством 
для радиуса вписанной окружности (где a и b — катеты, c — гипотенуза), получаем уравнение: 
откуда 
Таким образом, катеты исходного треугольника равны 15 и 20, а его площадь равна 
см,
см;
см.
то 
Треугольник CBE — равнобедренный. Если угол 
то 
Тогда 
то 
и 
где 
следовательно, 
и 
то есть 
значит, точка L лежит между M и B. Отсюда
значит,
б) 
поэтому расположение точек X и Y на гипотенузе будет именно таким (см. рисунок). 
и 
тогда 
и 
Воспользуемся теоремой Пифагора 
), внешним образом построены прямоугольные треугольники АВТ и АСК, так что 
и 
на стороне BC выбрана точка M так, что BM = MC. Определите градусную меру угла KMT.
и 
и 
точку N на стороне CJ,
и точку B на стороне CJ, такую что 
Получаем равные треугольники: 
следовательно, 
Из равенства треугольников MDC и NAB, получаем 
Без ограничения общности можно считать, что медиана AM проведена к середине M катета CB. Пусть 
Тогда имеем 
то отсюда получим искомое отношение катетов. Если же 
то в полученном соотношение правая и левая части разных знаков.
и 
Тогда 
то есть 
или 
Таким образом, получаем систему уравнений 
получим 
или 
Тогда, 
или 
Получаем 
см;
см,
см.
см.Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
то есть 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем 
Поскольку (см. чертёж) точка B должна лежать по ту же сторону от прямой ОА, что и точка D, то 
поэтому подходит только корень 
откуда 
Наконец, 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ОDB имеем 
и 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка O не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
и 
тот есть
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Внутри прямого угла дана точка M, расстояния от которой до сторон угла равны 2 и 8 см. Прямая, проходящая через точку M, отсекает от прямого угла треугольник площадью 50 см2. Найти катеты треугольника.
то есть 
получим 
или 
Тогда, 
см
см.Точка P лежит на гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точка F принадлежит катету AB, причем угол FPC прямой. Площадь треугольника FPC составляет 
площади треугольника ABC. Определить, в какой пропорции точка P делит сторону AC.
Тогда треугольник APF тоже равнобедренный и 
и 
По теореме Пифагора из треугольника ABC: 
тогда
не подходит, так как 
и 
Таким образом,
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы BC, а точки P и T делят катеты AB и AC в отношении
Обозначим за К точку пересечения отрезков ВТ и РM, за E — точку пересечения отрезков СР и МТ, и за О — точку пересечения отрезков СР и ВТ. Доказать, что четырёхугольник ОКME — вписанный.
Треугольник AMC равнобедренный, поэтому треугольники МАТ и MCH равны по одноимённым углам и прилежащим к ним сторонам. Отсюда, в частности, следует равенство углов АMТ и СМН. По обратной теореме Фалеса, ВТ и МН параллельны, поэтому угол СВТ равен углу СMH и углу АMT.
Выразим длины этих отрезков через длину ВТ. 
Треугольник ТМН равнобедренный, следовательно, 
следовательно, 
следовательно, 
следовательно, 
На катетах прямоугольного треугольника площади 1 как на диаметрах построены полукруги, расположенные вне этого треугольника. Найдите суммарную площадь частей этих полукругов, расположенных вне круга, описанного около этого треугольника.
