Всего: 275 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от 70% до 85% от общего числа учащихся, а оба языка изучают от 5% до 8%. Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык.
и 
Следовательно, 
Иван-царевич сражается со Змеем Горынычем на Калиновом мосту. У Змея 198 голов. Одним взмахом меча Иван-царевич может отрубить пять голов, но после этого у Змея моментально отрастают новые головы в количестве, равном остатку при делении на 9 от числа оставшихся после удара Ивана-царевича голов. Если число оставшихся голов делится на 9, то новые головы не вырастают. Если голов перед взмахом у Змея Горыныча было пять или меньшее, то Иван царевич одним взмахом убивает поганого Змея. Сколько взмахов мечом должен сделать Иван царевич, чтобы победить Змея Горыныча?
действительных чисел a и b таких, что уравнения 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
тогда x0 = a + b и
с дискриминантом 
Следовательно, единственная возможность это a = b = 0.
Т. к. 
треугольники QMA и EMP имеют два равных угла. Значит, у них равен и третий угол, и он прямой. EQ и AP — высоты в треугольнике ADE, значит, M — точка пересечения высот.В некоторой компании ни у каких двух сотрудников нет работы одинаковой сложности, и никакие двое не получают
одинаковую зарплату. 1 апреля каждый сотрудник сделал два утверждения:
(а) Не найдется 12 сотрудников с более сложной работой.
(б) По меньшей мере 30 сотрудников имеют большую зарплату.
Сколько сотрудников в компании, если часть сотрудников дважды сказали правду, а остальные дважды солгали.
В классе 14 девочек. Каждая из них узнала, скольких девочек в классе зовут также как ее, и у скольких такая же фамилия, и выписала два числа на доску. Оказалось, что среди чисел на доске встречаются все числа от 0 до 6. Докажите, что найдутся две девочки в классе, у которых совпадают и имя, и фамилия.
Пять различных по весу гирь, каждая из которых весит целое число килограмм, были взвешены всевозможными группами по три гири. В результате получили следующие веса (в килограммах) десяти взвешенных групп: 10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24. Найдите веса этих пяти гирь.
— веса данных гирь. Поскольку каждая гиря входит в шесть из десяти взвешенных троек, то сумма полученных весов равна 
следовательно,
откуда 
и 
откуда 
каждое из которых равно либо 
либо 
Найдите наибольшее возможное значение суммы 
если известно, что она является целым числом.
может принимать одно из трёх значений:
b раз — число 
В этом случае данная сумма равна
), то максимальное значение рассматриваемой суммы равно 1009 + 12 · 504 = 7057.
На каждом из этих множеств функция является линейной и имеет вид 
Пусть ki — угловой коэффициент на i-ом слева множестве (k1 = −2023 < 0 при 
Следовательно, функция f(x) сначала убывает, а потом возрастает. Так как k1011 = −1 при 
а k1012 = 1 при 
то наименьшее значение функции достигается в точке x = −1011. Оно равно
Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекаются с описанной около этого треугольника окружностью в точках A1, B1 и C1, соответственно. Найдите расстояния между точкой A1 и центром вписанной в треугольник ABC окружности, если известно, что 
по теореме о внешнем угле треугольника. Следовательно, треугольник OBA1 равнобедренный и A1B = A1O — искомый отрезок. Зная, что 
получаем 
По теореме синусов
Тогда 
где 
Тогда неравенство запишем в виде
Дана бесконечная последовательность многоугольников 
Фигура F1 — это равносторонний треугольник со стороной 1. Пятиугольник F2 получается из треугольника F1 построением на его стороне равностороннего треугольника со стороной 
как показано на рисунке. Семиугольник F3 получается из пятиугольника F2 построением на его стороне длины 
равностороннего треугольника со стороной 
и так далее. На каждом шаге строится треугольник, сторона которого в два раза меньше стороны треугольника, построенного на предыдущем шаге.
Докажите, что периметр каждой из рассматриваемых фигур не превышает 4.
Иван и Петр играют в следующую игру. Из кучки, которая содержит 2018 камней, они по очереди берут некоторое количество камней. Если перед ходом в кучке имеется N камней, то игрок может взять k камней, только если k является делителем числа N. Проигрывает тот игрок, который возьмет последний камень. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если первым берет камни Иван?
равен количеству нечетных чисел в наборе 
т. е. не превосходит 14. С другой стороны, 2031 имеет остаток 15 при делении на 16, а значит равенство левой и правой частей невозможно. Таким образом, решений не будет, поэтому уравнение будет иметь 0 целочисленных решений.
для всех n > 1. На сколько нулей оканчивается число, равное произведению 
?
Следовательно, 
На каждом из этих множеств функция является линейной и имеет вид 
k2 = 1 − 2 − ... − 11 = −64 при 
Следовательно, функция () сначала убывает, а потом возрастает. Так как k8 = 1 + 2 + ... + 7 − 8 − ... − 11 = −10 при 
а k9 = 1 + 2 + ... + 8 − 9 − 10 − 11 = 6 при 
то наименьшее значение функции достигается в точке x = 7. Оно равно 
если 
имеет два решения f1(k) = −1 и f2(k) = 2. Получаем
имеют два различных корня и эти уравнения с различными ki не имеют общих корней (школьники должны это строго доказать или найти в явном виде корни ).
при различных ki не имеют общих корней.Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В 2016 году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в 2017 году стали получать на 50% больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце 2016 года. Средняя зарплата всех сотрудников в 2017 году стала на 20% больше, чем была в 2016 году. Найдите сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в 2017 году трудяги, если в 2016 году их было 10%.
Таким образом, получаем уравнение:
