РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 436 Добавить в вариант

Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... , такая, что x₁ = 79 и $x_n= дробь: числитель: n, знаменатель: x_n минус 1 конец дроби$ для всех n > 1. На сколько нулей оканчивается число, равное произведению $x_1 умножить на x_2 умножить на ... умножить на x_2018$ ?

Спрятать решение

Решение.

Из условия задачи следует, что $x_n умножить на x_n минус 1=n.$ Следовательно,

$x_1 умножить на x_2 умножить на ... умножить на x_2018= левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_3 x_4 правая круглая скобка умножить на ... умножить на левая круглая скобка x_2017 x_2018 правая круглая скобка = 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на K умножить на 2018 = 2 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка умножить на 1009!$ $x_1 умножить на x_2 умножить на ... умножить на x_2018= левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_3 x_4 правая круглая скобка умножить на ... умножить на левая круглая скобка x_2017 x_2018 правая круглая скобка =$
$= 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на K умножить на 2018 = 2 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка умножить на 1009!$

В полученном произведении 201 число делится на 5, 40 чисел, которые делятся на 25, 8 чисел, которые делятся на 125 и 1 число, делящиеся на 625.

Таким образом, в полученном произведении число 5 входит в степени 201 + 40 + 8 + 1 = 250. При этом 2 входит в данное произведение в степени большей 250. Остальные числа не оканчиваются на 0 или 5 и являются четными, поэтому их произведение также не оканчивается на 0.

Следовательно, данное произведение оканчивается на 250 нулей.

Ответ: 250.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	10
Обосновано приведены все основные логические шаги решения. В результате вычислительной ошибки или описки получен неверный ответ.	+.	8
Приведены все основные логические шаги решения. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. Ответ верный. ИЛИ Обосновано приведены все основные логические шаги решения, в том числе показывается, что нужно учитывать делимость на степень 5. В результате неправильного учета отдельного случая делимости на степень 5 получен неверный ответ.	±	7
Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. В результате вычислительной ошибки или описки может быть получен неверный ответ. ИЛИ Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. Показывается, что нужно учитывать делимость на степень 5, но в результате ошибки получен неверный ответ.	+/2	5
Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. ИЛИ Найдена основная идея решения. Не учтены числа, которые делятся на 25, 125, 625.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		10

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь