РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 438 Добавить в вариант

Сколько различных корней имеет уравнение $f левая круглая скобка f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =1,$ если $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =k=x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби ,f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка k правая круглая скобка =k минус дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби ,f левая круглая скобка f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка f левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка k правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: f левая круглая скобка k правая круглая скобка конец дроби .$

Уравнение $f левая круглая скобка f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка k правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: f левая круглая скобка k правая круглая скобка конец дроби =1 равносильно f в квадрате левая круглая скобка k правая круглая скобка минус f левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 2=0$ имеет два решения f₁(k) = −1 и f₂(k) = 2. Получаем

$совокупность выражений f левая круглая скобка k правая круглая скобка =k минус дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби = минус 1,f левая круглая скобка k правая круглая скобка =k минус дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений k в квадрате плюс k минус 2=0,k в квадрате минус 2k минус 2=0. конец совокупности .$

Совокупность имеет четыре различных корня k₁, k₂, k₃, k₄. Заметим, что уравнения $x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =k равносильно x в квадрате минус k_ix минус 2=0$ имеют два различных корня и эти уравнения с различными k_i не имеют общих корней (школьники должны это строго доказать или найти в явном виде корни ).

Итак, исходное уравнение имеет 8 различных корней.

Ответ: 8.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Ответ верный. Приведены все основные логические шаги решения. В решении присутствуют арифметические ошибки или описки, которые не повлияли на общий ход решения.	+.	10
Ответ верный. Приведены все основные логические шаги решения. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов.	±	9
Приведены все основные логические шаги решения. В результате неверного рассуждения получен неверный ответ. ИЛИ Ответ верный. Приведены основные логические шаги решения. Отсутствует доказательство, что уравнения $x в квадрате минус k_ix минус 2=0$ при различных k_i не имеют общих корней.	+/2	6
Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. ИЛИ Приведены некоторые шаги, отражающие общую идею решения. Ответ отсутствует или неверный.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		12

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь