РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 365 Добавить в вариант

Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекаются с описанной около этого треугольника окружностью в точках A₁, B₁ и C₁, соответственно. Найдите расстояния между точкой A₁ и центром вписанной в треугольник ABC окружности, если известно, что $\angle A_1B_1C_1 = 50 градусов,$ $\angle A_1C_1B_1=70 градусов,$ $B_1C_1= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Спрятать решение

Решение.

На рисунке одинаковыми числами помечены равные углы (это следует из того, что AA₁, BB₁, CC₁  — биссектрисы углов треугольника, помеченный "1 + 2"  — угол около точки O (центр вписанной окружности) равен $\angle OAB плюс \angle OBA =\angle 1 плюс \angle 2$ по теореме о внешнем угле треугольника. Следовательно, треугольник OBA₁ равнобедренный и A₁B  =  A₁O  — искомый отрезок. Зная, что $\angle A_1B_1C_1 = 50 градусов,$ $A_1C_1B_1=70 градусов,$ получаем $\angle B_1A_1C_1=60 градусов.$ По теореме синусов

$дробь: числитель: B_1C_1, знаменатель: синус \angle B_1A_1C_1 конец дроби =2R равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: синус 60 градусов конец дроби =2R,$

где R  =  1  — радиус описанной окружности. Так как

$\angle A=\angle A_1B_1C_1 плюс \angle A_1C_1B_1 минус \angle B_1A_1C_1=60 градусов,$

откуда $\angle 1=30 градусов.$ Тогда

$A_1O=A_1B=2 умножить на R умножить на синус \angle 1 = 1.$

Ответ: 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Представлены основные логические шаги решения. В решении отсутствуют некоторые обоснования или имеется вычислительная ошибка или описка.	±	9
Найдена идея решения, но оно не доведено до конца. При этом выполнена некоторая существенная часть задания.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		12

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь