Всего: 60 1–20 | 21–40 | 41–60
Добавить в вариант
К тому же известно, что система уравнений 
и 
то 
если 
то 
если 
то 
если 
то 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
Следовательно, 
А так как 
то минимальное возможное значение c будет 1013.
К тому же известно, что система уравнений 
и 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
А так как 
и 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
А так как 
и 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
А так как 
где n пробегает все натуральные числа?
следовательно, возрастает при всех натуральных значениях x. Поэтому 
и значение 1 f(n) принимать не может. Далее, легко заметить что f(n) всегда является числом нечётным, поэтому не может делиться на десять. Следовательно, минимальная сумма цифр числа 
равна 2 и достигается при 
и значение единицы f(n) принимать не может — 2 балла. 
Докажите, что 
для всех n = 1, 2, 3, ... .
в виде 
Квадратичная функция 
положительна при 
поэтому из положительности 
следует 
при всех 
в частности, и при 
Это доказывает утверждение задачи в случае 
равно 
при 
поэтому 
при всех 
Это доказывает, в частности, утверждение задачи для 
Пусть утверждение задачи выполнено для 
На интервале 
возрастает, следовательно, 
1 балл. Доказано неравенство 
2 балла. Сделан шаг индукции: 4 балла.
и 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
А так как 
такова, что, 
Найти a4.
за x и найдём несколько первых членов последовательности: 
что, как мы увидим, будет выполнено. Следовательно, она периодична с периодом 5. В таком случае 
снимаем 1 балл.
и 
и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −1. 
получим 
перемножим все уравнения и сократим обе части на 
получим 
Раскроем в последнем уравнении скобки, запишем его в виде 
получим 
не имеющим решения, ввиду отрицательности его дискриминанта.
модуль одной из переменных не меньше 1, а другой — не больше 1. 
заметим, что наша система имеет вид: 
При 
имеем 
Поэтому, если 
то
Для дальнейшего отметим, что минимальное значение f(t) равно 
при 
при 
значение 
при 
значение 
то 
—
то 
следовательно, ровно одна из переменных меньше −1, считаем, что 
и 
На интервале 
функция f(t) монотонно убывает, поэтому 
В таком случае 
то есть 
Следовательно, предположение о том, что одна из переменных меньше −1 приводит к противоречию. Значит, система не имеет решений, отличных от уже найденных 
Из равенства 
получаем 
что с учётом пункта 2 приводит к уже найденным решениям 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
1 балл. Доказательство того, что 
и получение противоречия: 3 балла.
оценивается по 1 баллу. Замечание о том, что 
и 
1 балл. Применение неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом с неотрицательным числам |x|, |y|, |z|: 2 балла. Замечено, что в неравенстве строгое равенство и что 
1 балл. Отсюда получено, что 
1 балл.
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
тогда 
Полученное выражение равно 0 при 
или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена 
достигается на его конце при 
(значение на другом конце 
равно 0), и равен 
Следовательно, максимум 
не превосходит максимума трёхчлена 
который достигается при 
из интервале 
и равен 
максимальное значение — 
и 
—
Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде: 
для некоторого 
(включая) до 
(исключая). Следовательно, сумма 
заключена в интервале от 
(включая) до 
(исключая), что и требовалось доказать.
с целыми коэффициентами а, b, c, d известно, что p(1) = 2015 и p(2) = 2017. Докажите, что уравнение p(x) = 2016 не имеет целых корней.
нечетно при всех целых x, следовательно, не может иметь целых корней.В памяти суперкомпьютера находится строка чисел, бесконечная в обе стороны. В начальный момент одно число строки равно единице, а все остальные нули. За один шаг суперкомпьютер прибавляет к каждому из чисел строки сумму обоих соседних с ним чисел (все прибавления происходят одновременно). Получается такая последовательность строк:
...
Правда ли, что начиная со второго шага в каждой строке встретится хотя бы одно ненулевое четное число? Ответ обосновать.
В этом случае приходим к уравнению 
при целых отрицателыных n, приходим к выводу, что выполняется равенство 
где k — целое число. Заметим, что 
а, следовательно, среди делителей числа 175 есть только два квадрата целых чисел: квадраты чисел 1 и 5. Но нас интересуют только целые отрицательные значения n. Значит, 
и 
—
является решением системы лишь тогда, когда 
будет решением системы при всех 
Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что 
то 
В этом случае система записывается как 
функции 
и 
Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения 
на промежутке 
Уравнение представляется как 
Тогда 
и, значит, 
Решив уравнение 
имеет единственное решение?
Обратим внимание, что уравнение 
можно логарифмировать и записать в виде 
на монотонность. Для этого найдем производную 
Вычислим пределы 
Решением этого неравенства оказывается промежуток (0, 1]. Сделаем эскиз графика функции f(x). 
всегда является полупрямая 
или 
Уравнение 
В таком случае 
где 
Исследуем функцию 
Для этого найдем ее производную 
то функция g убывает при 
и возрастает при 
Выясним предел функции g в нуле 
функция g принимает значения 
и 
эквивалентны, то есть множества корней уравнений совпадают.
то 
Предположим, что 
и для определённости 
Тогда в силу возрастания функции 
что противоречит предположению. Лемма доказана.
На этом множестве функция 
которое по доказанной лемме эквивалентно уравнению 
откуда 
Одним из корней уравнения является 
Графики двух квадратичных функций, вершины которых имеют абсциссы x1, x2 и лежат на оси абсцисс, пересекаются в точках с абсциссами x3, x4. На первом графике выбрали точку M, с абсциссой x2, а на втором — точку N, с абсциссой x1. Найдите абсциссу точки пересечения прямой MN с осью абсцисс.
и 
причём 
и 
Точки пересечения этих графиков найдём из уравнения 
и 
(иначе бы графики пересекались в одной точке или совпадали), то последнее равенство равносильно равенству 
В этому случае левая часть тождества равна 
а правая — 
то есть они совпадают. В силу указанной чётности и симметрии переменных равенство будет выполняться для любых x и y.
в виде 
и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве x выражение 
Тогда 
и поскольку 
имеем 
Подставив в это неравенство 
вместо x, получим 
и, значит, 
Повторяя эти рассуждения, получим 
Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть 
Другими словами, функция f(x) имеет период 