Всего: 60 1–20 | 21–40 | 41–60
Добавить в вариант
Известно, что 
Чему равно f(2020)?
и 
получим 
откуда 
Теперь возьмём 
тогда 
и, значит, 
Полученное равенство означает, что 
периодическая функция с периодом 1. Поэтому 
— 5 баллов. 
Вычислите сумму 
Действительно, 
При 
имеем 
Отрезок [−3; 9] является множеством значений функции f(x), отрезок [−1; 6] является множеством значений функции g(x). На какую наибольшую величину может отличаться наибольшее значение функции f(x) × g(x) от наименьшего значения этой функции?
а минимальное 
Будем называть колебанием функции разницу между ее наибольшим и наименьшим значением. Каким может быть максимальное колебание функции f(x) × g(x), если известно, что отрезок [−8; 4] является множеством значений функции f(x), а отрезок [−2; 6] является множеством значений функции g(x).
равно 
минимальное 
и получится неравенство 
левая и правая часть неравенства возрастают, поэтому получим 
левая и правая части неравенства убывают, поэтому получим 
то x = 4.
найдите сумму 
то 
Положим 
Найдите непостоянную функцию f(x), о которой известно:
1. Для всех значений x, y выполнено равенство: 
где g(x) заданная функция;
2. Уравнение 
имеет единственное решение;
3. Справедливо неравенство 
В ответ запишите значение функции f(x) в точке 36,25, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой. Если такая функция не существует, то в ответе запишите 0. Известно, что b = 17 и
и 
получим 
получим 
получим 
Тогда из второго условия определения функции f(x) следует, что 
Тогда в этом случае 
для некоторого 
Подставим в первое условие 
поскольку 
получим 
то есть 
и 
Поскольку функция f(x), по условию, была непостоянна, то 
При 
получаем равенство 
где 
приводит к неверному 
они периодичные с периодом 2π. Поэтому достаточно решить неравенство на промежутке 
Имеем: 
то 
arccos 
поэтому на этом интервале данное неравенство решений не имеет. Четно-периодично продолжая полученные решения на всю числовую ось, получаем 
при 
уравнение имеет вид 
Следовательно, при 
Если 
то 
а 
Поэтому минимум функции 
заведомо не больше единицы:
решений нет.
при 
При остальных a решений нет.
has at least one solution.
is not a solution of the equation, dividing both sides by x results in an equivalent equation 
Let us consider function 
the derivative is positive, and for 
it is negative. Therefore, 
is a minimum for 
So, for positive values of x our function takes values from 
All in all, range of f(x) is 
It is only left to notice that the given equation has solutions only for such values of p that belong to the range of f(x). Thus the largest negative value of p is −432.
она отрицательна. Следовательно, 
точка минимума функции 
Окончательно получаем, что множество значений f(x) — это 
Остаётся заметить, что данное уравнение имеет решение для тех и только тех значений p, которые принадлежат множеству значений f(x). Таким образом, наибольшее отрицательное значение p равно −432.
при условии 
до точек с координатами 
и 
а геометрическое место решений уравнения 
на плоскости есть ромб 
и 
то задача равносильна поиску минимума суммы расстояний от точки, лежащей на указанном ромбе, до точек с координатами 
(см. левый рис.).
а точка 
симметрична точке F относительно прямой l. Тогда полу чаем 
лежит на стороне ромба. Сумм а расстояний от любой другой точки ромба до точек E и F превосходит 
Остаётся найти EF и расстояние между прямыми 
и 
Применяя теорему Пифагора, получаем 
Расстояние между прямыми равно расстоянию от начала координат до прямой 
(например, это следует из подобия прямоугольных треугольников), поэтому 
а именно, неравенство 
и 
можно найти сразу по формуле 
Существует ли функция f(x), отличная от нуля, такая, что выполняется тождество 
и
тогда 
следовательно, существует 
Значит, функция отличная от нуля и выполняющая тождество существует: 
принимает целые кратные m значения при любых целых числах x. Найдите все такие натуральные m > 1.
Тогда, в частности, числа P(−1), P(0) и P(1) кратны m, и, значит, комбинация 
Произведение двух последовательных целых чисел x и x + 1 всегда делится на 2, то есть условие выполняется.
имеет период 
).
рационально. Поэтому и в этом случае найдется такое значение x, при котором два первых множителя не обращаются в ноль, а условие задачи равносильно равенству 
— целое, то 
—
Тогда 
Рассматривая функцию y(u) на отрезке 
(это соответствует изменению x на промежутке от 0 до 
и возрастает на отрезке 
(в этом можно убедиться, используя производную: она равна 
Отсюда следует, что функция 
не может иметь периода меньше 
A function f is called periodic if it takes at least two different values and there exists 
such that 
for any x. Each of the numbers p are called periods of the function f.
Is it possible to construct functions g и h with periods 1 and π respectively such that g + h is also a periodic function?
Функция f называется периодической, если она принимает хотя бы два различных значения, и найдется такое 
что для любого x. При этом каждое такое число p называется периодом функции f.
Существуют ли такие периодические функции g и h с периодами 1 и π соответственно, что g + h — тоже периодическая функция?
function 
equals 0. On the other hand, if 
obtain 
функция 
и 
что для любых действительных значений x, y, z выполняется равенство 
Ответ обоснуйте.
такие, что для любых действительных значений x, y, z выполняется равенство 
Положим x = 0. Обозначим 
и 
Очевидно, что хотя бы одна из функций F(y) или G(z) не является константой. Пусть G(z) не является константой. Тогда существуют такие 
что 
Но тогда 
и 
(целая часть числа x). Постройте не менее двух непрерывных функций, формульное выражение каждой из которых представляло бы собой композицию с участием всех трёх данных функций и только их.
обращается в ноль. Отсюда следует, что 
и все более сложные композиции вида 
где A — любая из данных функций или даже любая их композиция.