РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 5054 Добавить в вариант

Натуральные числа a, b, c выбраны таким образом, что $a меньше b меньше c.$ К тому же известно, что система уравнений $2x плюс y = 2031$ и

$y = |x – a| плюс |x – b| плюс |x – c|$

имеет ровно одно решение. Найдите минимальное возможное значение c.

Спрятать решение

Решение.

Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x минус a| плюс |x минус b| плюс |x минус c|$ является кусочно-линейной функцией. Посмотрим на коэффициент при x на разных участках: если $x меньше a,$ то $k= минус 3;$ если $a меньше x меньше b,$ то $k= минус 1;$ если $b меньше x меньше c,$ то $k=1;$ если $c меньше x,$ то $k=3.$

Наш график $y= минус 2 x плюс 2031$ имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).

Получаем

$f левая круглая скобка a правая круглая скобка =a минус a плюс b минус a плюс c минус a=b плюс c минус 2 a,$

подставляем в первое уравнение и получаем

$2 a плюс левая круглая скобка b плюс c минус 2 a правая круглая скобка =2031.$

Следовательно, $b плюс c=2031.$ А так как $c больше b,$ то минимальное возможное значение c будет 1016.

Ответ: 1016.

Аналоги к заданию № 4942: 4992 5002 5012 ...4992 5002 5012 5022 5044 5054 5230 Все

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2019 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений, Анализ. Свойства функций (четность, периодичность, ...)

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь