Всего: 173 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
При каких значениях параметра a система уравнений
имеет единственное решение?
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости сумма расстояний от которых до точек A(6,13) и B(18,4) равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка 
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса 
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность
пересекает отрезок AB ровно в одной точке.
Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид 
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра 
Центр окружности лежит на прямой 
Точка M 
пересечения прямых 
и 
лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет.
Это происходит при 
Если же центр S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при 
то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно, 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку 
постольку единственность решения возможна, когда
окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором система уравнений
имеет единственное решение.
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости, сумма расстояний от которых до точек 
и 
равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность пересекает отрезок 
ровно в одной точке. Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра
Центр окружности лежит на прямой Точка 
пересечения прямых и лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет. Это происходит при Если же цент S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку постольку единственность решения возможна, когда окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Из городка «Ух» в городок «Ах» в 
утра выехал Иван на своем велосипеде, проехав две трети пути, он миновал городок «Ох», из которого в этот момент времени в городок «Ух» отправился Петр пешком. В тот момент времени, когда Иван прибыл в городок «Ах», оттуда в обратном направлении выехал Николай на своем велосипеде и прибыл в городок «Ух» в 
утра этого же дня. В скольких километрах от городка «Ах» Николай догнал Петра, если Петр прибыл в городок «Ух» в 
утра того же дня, при этом скорость каждого участника движения была постоянной, а расстояние между городками «Ух» и «Ах» составляет всего 10 км.
Решим задачу графически-геометрическим способом. Изобразим графики движения Ивана через отрезок KL, Николая через отрезок LM и Петра через отрезок NP в системе координат 
где t — время в часах, s — расстояние в километрах от пункта А (рис. 1). Пусть Q — точка пересечения LM и NP. По условию 
и 
Проведём 
тогда по теореме Фалеса имеем
Тогда, если 
то 
а 
Откуда опять по теореме Фалеса имеем
Таким образом, искомое расстояние равно 
Отметим, что при поиске отношения 
можно использовать теорему Менелая. Точки N, Q и P лежат на одной прямой, поэтому
или
Следовательно, 
Ответ: 6 км.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F 
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F это 
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
отрицательны. Таким образом, Уравнение принимает вид
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через 
Если 
у уравнения нет решений. При 
оно задаёт две точки (8; 6) и (−8; 6). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю 
При 
уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 
с центром в точке (8; 6) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
множество 
симметрично относительно оси Оу. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Оу.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 12). Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 2 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат — не более 3 баллов за задачу.
За каждое найденное значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 4 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
этих точках. Возьмем область, расположенную сверху от обеих прямых. В ней лежит, например, точка (0; 10). Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
положительны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(раскрыв модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки 
и 
Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю
При уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (или её часть, лежащую в полуплоскости если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на множество симметрично относительно оси Оy. Таким образом, замены x на множество симметрично относительно оси Оy. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Оу.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы.
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и 
Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет репений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два репения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 2 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат — не более 3 баллов за задачу.
За каждое найденное значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 4 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки (4; 3) и (−4; 3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю 
При уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (4; 3) (или её часть, лежащую в полуплоскости если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на множество симметрично относительно оси Oy. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Oy.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 6). Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 1 балл.
За каждое значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 3 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у Уравнения нет решений. При оно задаёт две точки (6; 8) и (6; −8). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю
При 
уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (6; 8) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены y на 
множество симметрично относительно оси Ox. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Ox. Если график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если дуга окружности
и 
пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оx, образуют 4 различных решения системы. Если дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с отрицательной ординатой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Ох, образуют 4 различных решения системы. Если система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (12; 0). Наконец, если дуга окружности
и 
не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при и 
Ответ:
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 1 балл.
За каждое значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 3 баллов за задачу.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге в точках 
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 4) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на (−x) и/или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — т. е. система имеет два решения (0; 0) и (6; 0).
Ответ: (0; 0) и (6; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем квадрат K с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок).
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 13 с центром в точке (5; 12) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — то есть система имеет два решения (0; 0) и (−10; 0).
Ответ: (0; 0) и (−10; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Окружность, центр которой лежит на прямой 
пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Рассмотрим сначала 
Обозначим начало координат через 
центр окружности через 
(так как он лежит на прямой его ордината равна b); точки пересечения прямой с параболой через 
и 
Пусть также 
— точка пересечения данной прямой с осью ординат, C — точка пересечения окружности с осью ординат, отличная
Треугольник QOC равнобедренный 
как радиусы), QT — его высота, следовательно, QT также и медиана, 
поэтому точка C имеет координаты 
Опустим из точки A перпендикуляр AH на ось ординат. Тогда 
есть угол наклона прямой, его тангенс равен 
Отсюда 
и
Аналогично находим, что 
Прямые AB и OC — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах*
то есть
Абсциссы 
и 
точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением
По теореме Виета 
Значит,
Значение 
не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
то есть проходит через начало координат.
При 
(естественно, мы рассматриваем только те b, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа и положительны. Точка T является серединой отрезка OC (сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка T — середина хорды OC, то есть лежит внутри окружности. С другой стороны, точки A и B лежат на окружности, поэтому AB является хордой этой окружности, а точка T лежит на продолжении хорды AB, то есть вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.
Ответ: 
*Заметим, что для отрезков AB и OC, пересекающихся в точке T, условие 
является необходимым и достаточным условием того, что четыре точки A, B, C, O лежат на одной окружности.
Составлено уравнение хотя бы одного серединного перпендикулярна — 1 балл.
За нахождение координат точек пересечения прямой и параболы — баллы не добавляются.
Окружность, центр которой лежит на прямой y = b, пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Рассмотрим сначала Обозначим начало координат через центр окружности через (так как он лежит на прямой его ордината равна b); точки пересечения прямой с параболой через и 
Пусть также — точка пересечения данной прямой с осью ординат, C — точка пересечения окружности с осью ординат,
Треугольник QOC равнобедренный как радиусы), QT — его высота, следовательно, QT также и медиана, поэтому точка C имеет координаты 
Опустим из точки A перпендикуляр 
на ось ординат. Тогда есть угол наклона прямой, его тангенс равен 
Отсюда 
и
Аналогично находим, что 
Прямые AB и OC — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах*
то есть
Абсциссы и точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением
По теореме параболы определяются уравнением
По теореме Виета 
Значит,
откуда 
Значение не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
то есть проходит через начало координат.
При (естественно, мы рассматриваем только те b, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа и положительны. Точка T является серединой отрезка 
(сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка T — середина хорды OC, т. е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки A и B лежат на окружности, поэтому AB является хордой этой окружности, а точка T лежит на продолжении хорды AB, то есть вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.
Ответ:
*Заметим, что для отрезков AB и OC, пересекающихся в точке T, условие является необходимым и достаточным условием того, что четыре точки A, B, C, O лежат на одной окружности.
Составлено уравнение хотя бы одного серединного перпендикулярна — 1 балл.
За нахождение координат точек пересечения прямой и параболы — баллы не добавляются.
а) Покажите, что 
при 
б) Единичный квадрат разделен двумя прямыми на четыре прямоугольника. Докажите, что произведение площадей двух несмежных прямоугольников не превосходит 
в) Найдите наибольшее значение произведения xy, если известно, что 
а) Возводя неравенство в квадрат, получаем 
Первое неравенство очевидно. Второе сводится к
что верно.
б) Произведение площадей нeсмежных прямоугольников (обозначения — на рисунке) равно
в) Имеем: 
значит, 
Равенство достигается при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при 
значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Задумав жениться, Иван открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на него 10 000 рублей. Сколько денег на семейный отдых он сможет тратить через 8 лет, если будет брать только проценты с накопленной за это время суммы? Банк дает 30% годовых, а 
а) Функция
— возрастающая и ее корень — 
Ответ: См. рисунок.
б) Возведя в квадрат, получим уравнение 
из корней которого следует взять лишь те, для которых 
в) Решение: Заметим прежде всего, что записать верное решение этой задачи, не используя ее геометрической интерпретации, достаточно трудно, что видно хотя бы из ответа. Положим для краткости его записи: 
Итак, ответ: 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
решение понятно из следующей серии графиков.
Ответ: 
г) (Прочитав формулировку задачи, один из моих коллег сказал, что ответ в ней — «ничего», поскольку банк, который выплачивает такой процент, заведомо прогорит. И, как мы увидели на практике, он оказался прав. Но это уже совсем другая наука...). Конечно, можно прямо подсчитать, сколько же денег на счету окажется у Ивана через 8 лет. Заметим, что проделать аналогичное вычисление при решении задачи 2г) следующего варианта будет более затруднительно, не говоря уже о том, что делать это без калькулятора просто глупо.
Мы проведем вычисления в общем виде, воспользовавшись численными данными лишь на заключительном этапе решения. Итак, пусть a — вносимая Иваном ежегодно сумма, а 
— начисляемый годовой процент. В первый год он внес a рублей, так что после начисления годовых процентов через год у него на счету будет
Удобно ввести дополнительное обозначение 
так что если некто имел на счету в начале года s рублей, то после начисления процентов у него окажется sq рублей. Вернемся к Ивану. После того, как он в конце первого года внес снова свои a рублей, у него на счету стало их 
далее, в конце второго года их станет (после очередного
В нашем случае 
так как 
Поэтому имеется по крайней
Ответ: 90 000 рублей.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
90 000 рублей.Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на x — и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть 
—
— радиус той окружности, которая касается сторон AB и AD ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса 
касается стороны BC в точке L. Треугольник CLQ — прямоугольный, 
равен угловому коэффициенту прямой BC, то есть 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника CLQ получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой —
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
a) И ромб, и окружность симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, то есть 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть — —
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса касается стороны BC в точке L. Треугольник JAQ — прямоугольный,
поэтому
так как он равен угловому коэффициенту прямой AB. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника JQA получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (0; 2) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вверх, а другой — с вершиной 
и ветвями вниз, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в верхней полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр 
на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть —
и 
Так как 
то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (1; 0) и угловым коэффициентом Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вправо, а другой — с вершиной 
и ветвями влево, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в правой полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр QH на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть —
Так как то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Наверх