Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (1; 0) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вправо, а другой — с вершиной 
и ветвями влево, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При 
решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в правой полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть 
—
Опустим из точки Q перпендикуляр QH на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть 
—
Так как 
то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Наверх