Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
В футбольном турнире участвовало 10 команд, каждая из которых с каждой из остальных сыграла по одному матчу. По окончании турнира выяснилось, что для любой тройки команд найдутся две команды из этой тройки, набравших равное число очков в играх с командами из этой тройки. Доказать, что все команды можно разбить не более, чем на три подгруппы таких, что любые две команды из одной подгруппы сыграли между собой вничью. За выигрыш в футболе команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко и за проигрыш — 0 очков.
Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …
У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …
Найдите сумму первых 400 членов этой последовательности.
— количество чисел с суммой цифр 18, 
— количество чисел с суммой цифр 27.
Будем все числа трактовать как четырехзначные: 9 = 0009, 
чисел с суммой цифр 9 вида 1m1m2m3, 
чисел 2m1m2m3 и, наконец, 
чисел 3m1m2m3. Заметим, что при подсчете количества чисел вида 3m1m2m3 выполняется равенство 
и, следовательно, 
Для получения ответа остается вычислить 
лежит на окружности. Важно лишь, что она находится выше прямой MN и вне окружности, описанной около треугольника BMN.
симметричную точке 
лежит выше прямой MN и вне меньшей окружности. По доказанному, угол MK1N не превосходит 60°. Утверждение доказано полностью.
Поэтому числа a, b, c будем искать в виде 
Остается подобрать целые неотрицательные показатели 
так, чтобы выполнялись соотношения 
кг, а общая масса соли в 5%-ом и 20%-ом растворах равна массе соли в 90 кг 7%-ого раствора: 
откуда 
и 
В детском саду каждому ребёнку выдали по три карточки, на каждой из которых написано либо «МА», либо «НЯ». Оказалось, что слово «МАМА» из своих карточек могут сложить 20 детей, слово «НЯНЯ» — 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких детей все три карточки были одинаковы?
значит, искомое число равно 
детей.
откуда 
Значит, 
что и требовалось доказать.На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа. 
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое не доверяют друг другу. При каком минимальном размере партии такое возможно?
Не забудьте показать, что при указанном Вами размере партии это действительно возможно, а при меньших — нет.
на простые множители имеет вид либо n = p9, либо n = p1p24. Действительно, для каждого j = 1, . . . , k1 имеется (k2 + 1) . . . (ks + 1) делителей числа n, содержащих p1 в степени j в разложении на простые множители: все эти делители имеют вид 
Следовательно, произведение всех делителей числа n содержит p1 в степени (k2 + 1) . . . (ks + 1)(1 + . . . + k1) = 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1)k1. Условие, что произведение всех делителей равно n5, эквивалентно утверждению, что каждое pj входит в их произведение в степени 5kj, и, тем самым, предыдущее выражение равно 5k1. Другими словами, 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1) = 5. С другой стороны, 
Отсюда следует, что 
Пусть s = 2. Тогда одно из kj, скажем, k1 равно 1, а тогда k2 = 4 (простота числа 5). В случае, когда s = 1, k1 = k, получаем уравнение 1/2(k + 1) = 5, то есть k = 9. Итак, все числа 
удовлетворяющие условию задачи, имеют разложение на простые множители вида либо n = p1p24, 
либо n = p9; p1, p2, p > 1. Перечислим те из них, которые лежат между 400 и 600.
тем самым, 
Итак, 
Следовательно, 
а значит,
У Пети есть линейка длиной 10 см (то есть с помощью неё нельзя проводить отрезки длиной больше 10 см), и циркуль с максимальным раствором 6 см (то есть с помощью него невозможно рисовать окружности радиуса больше 6 см). Делений на линейке и циркуле нет, то есть измерять расстояния ими нельзя.
На листе бумаги нарисованы две точки. Известно, что расстояние между ними равно 17 см. Покажите, как Петя может соединить эти точки отрезком, используя только ту линейку и циркуль, которые у него есть.
На доске написано несколько цифр (среди них могут быть одинаковые). На каждом шаге две цифры стираются и пишутся цифры, из которых состоит их произведение. (Например, вместо 5 и 6 пишется 3 и 0, а вместо 2 и 4 пишется 8). Доказать, что через несколько шагов на доске останется одна цифра.
и заменим согласно этому равенству каждое слагаемое в оцениваемой сумме:
следовательно, оцениваемая величина 
что и доказывает исходные неравенства.
имеет решение в целых числах.
Пусть числа A и B взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа y и z, что 
Следовательно, 
Поэтому наше уравнение имеет следующее решение в целых числах:
имеет 4 различных действительных корня 
Найдите многочлен вида 
получаем требуемый многочлен g(y), поскольку
Купец купил в Твери несколько мешков соли и продал их в Москве с прибылью в 100 рублей. На все вырученные деньги он снова купил в Твери соль (по тверской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?
рублей. Следовательно, после второй покупки-продажи он получит 
рублей. Решая, получим 
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трех чисел, стоящих рядом, не меньше 29. Укажите такое наименьшее число А, что в любом наборе чисел, удовлетворяющем условию, каждое из чисел не превосходит А.
Пример набора с максимальным числом 13: 13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10. 