Всего: 139 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 6, можно образовать из цифр числа 2016, если цифры могут повторяться без ограничений?
Пусть
Далее простым перебором двух средних цифр (с учетом делимости всей суммы на 3) можно найти количество вариантов для каждой комбинации первой и последней цифры. Приведем их в виде таблицы.
Всего получается
Ответ: 48.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Найдите все решения системы уравнений:
Могут ли все точки, соответствующие решениям, быть вершинами многоугольника? Если такой многоугольник существует, найдите его площадь.
Складывая и вычитая уравнения, получим
и
Тогда возможны 4 случая.
1. Когда и Решение
2. Когда и Решение
3. Когда и Решение
4. Когда и Решение
Точки, соответствующие решениям, — вершины прямоугольника. Площадь прямоугольника
Ответ: прямоугольник площади
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Эстетически совершенным считается прямоугольник, длины сторон которого образуют золотое сечение, т. е. связаны соотношениями и
Некий архитектор задумал проект здания в виде прямоугольного параллелепипеда, у которого золотые сечения образуют ширина и длина, длина и высота, а также периметр основания и площадь боковой поверхности. Найдите объем такого параллелепипеда, длину его диагонали и отношение площади боковой поверхности к площади основания.
Пусть a, b, c ширина, длина и высота здания. Тогда площадь боковой поверхности равна периметр основания равен площадь основания. По условию
Из уравнения находим тогда Из (1) находим и
Вычислим объем V, длину диагонали d и отношение площадей:
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Электронные часы отстают, хотя и показывают на табло в данный момент на 4 минуты больше, чем следует. Если бы они показывали на 6 минут больше, чем следует, но отставали бы на минуту в сутки больше, чем сейчас, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки отстают часы?
Пусть часы отстают на X минут в сутки. Тогда они покажут точное время через суток. Если бы они отставали на минуту в сутки, а показывали бы на шесть минут больше, то точное время они показали бы через суток. Следовательно,
Получаем два корня: (не подходит по условию) и
Ответ: часы отстают на одну минуту в сутки.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Опишите все выпуклые n-угольники, углы которых удовлетворяют соотношению
Исходное уравнение, очевидно, эквивалентно системе
Следовательно, все углы — прямые, поскольку для выпуклого многоугольника Таким выпуклы м n-угольником может быть только прямоугольник
Ответ: это прямоугольники.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Пусть — целое четырехзначное десятичное число, записанное цифрами a, b, c, d такими, что Y — число, записанное теме же цифрами в обратном порядке. Может ли число иметь сумму цифр 16?
Разность — 4-значное число, оно имеет вид отсюда
Складывая, получаем 18.
Ответ: нет.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
В стране «Энергетика» 150 заводов и некоторые из них соединены автобусными маршрутами, которые не останавливаются нигде, кроме этих заводов. Оказалось, что любые четыре завода можно разбить на две пары так, что между заводами каждой пары ходит автобус. Найдите наименьшее число пар заводов, которые могут быть соединены автобусными маршрутами.
Предположим, что какой-то завод X соединен автобусными маршрутами не более чем с 146 заводами. Тогда четверка заводов, состоящая из X и каких-то трех, с которыми он не соединен, не удовлетворяет условию задачи, поскольку X не может быть в паре ни с одним из трех оставшихся заводов. Поэтому каждый завод соединен хотя бы с 147 заводами. Следовательно, всего пар заводов, соединенных автобусными маршрутами, не меньше, чем
Покажем теперь, что может быть ровно 11 025 пар заводов. Занумеруем заводы числами от 1 до 150 и соединим автобусными маршрутами во заводы, кроме первого и 150-го, а также заводов, номера которых отличаются на единицу. Проверим, что эта конструкция удовлетворяет условию задачи. Поскольку каждый завод соединен автобусными маршрутами с 147 заводами, общее количество пар соединенных заводов в точности равно
Возьмем теперь любую четверку заводов. Возможны два случая.
1) Есть завод, не соединенный с двумя из трех остальных заводов. Пусть завод А не соединен с заводами В и С, но соединен с заводом D. Тогда заводы В и С должны быть соединены между собой, так как остатки от деления их номеров на 150 различаются на 2. Поэтому пары (A, D) и (B, C) нам подходят.
2) Вое заводы соединены с не менее чем двумя из трех остальных заводов. Пусть завод А соединен с заводами В и С. По предположению завод D должен быть соединен с В или С. Если он соединен с В, то нам подойдут пары (А, С) и (B, D), а если с C, то пары (A, B) и (C, D).
Ответ: 11 025.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Дан квадратный трехчлен имеющий ровно один корень. Найдите коэффициенты a и b, если известно, что и многочлен
имеет ровно один корень.
Пусть — единственный корень многочлена Тогда функция сохраняет знак во всех точках и только Следовательно, корнем многочлена
является только такая точка что
Упрощая уравнение: находим Следовательно,
Из единственности корня следует, что имеет вид
откуда и
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Шесть чисел записаны в ряд. Известно, что среди них есть единица и любые три соседних числа имеют одинаковое среднее арифметическое. Найдите максимальное значение среднего геометрического любых трёх соседних в этом ряду чисел, если среднее арифметическое всех 6 чисел равно A.
Решение. Запишем в ряд
получаем Запись в ряд имеет вид
Среди 6 чисел есть по крайней мере три пары равных. Из (*) следует, что и перепишем (1) в
Обозначим тогда и среднее геометрическое трех соседних чисел выражается как Функция имеет максимум в той же точке, что и функция
Это парабола, ее максимум достигается в вершине с координатам и Таким образом, максимальное значение функции есть
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Дан квадратный трехчлен имеющий ровно один корень. Найдите коэффициенты a и b, если известно, что и многочлен имеет ровно один корень.
Пусть — единственный корень многочлена Тогда функция сохраняет знак во всех точках и
является только такая точка что
Получаем уравнение с параметрами Так как по условию то и
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
При благоустройстве городского сада «Пифагор» сначала были проложены три аллеи, образующие прямоугольный треугольник с острым углом Следующие аллеи проложили как внешние квадраты на сторонах этого треугольника (получилась фигура, иллюстрирующая теорему Пифагора и называемая пифагоровыми штанами). Наконец, на третьем этапе соединили прямолинейными аллеями центр наибольшего квадрата с вершиной прямого угла, а центры двух меньших квадратов друг с другом. Определите, какая из аллей третьего этапа имеет большую длину? При каком значении угла их длины различаются сильнее всего?
Обозначим исходный треугольник ABC (угол C — прямой), центры квадратов O1, O2, O3, вершину одного из квадратов D (см. рис). Пусть угол A равен
Пусть стороны исходного треугольника, противолежащие вершинам A, B, C, имеют длины a, b, c соответственно. Тогда
(утлы между диагональю и стороной квадрата), следовательно, отрезки и лежат на одной примой. Каждый из них равен половине диагонали своего квадрата. Значит,
Треугольники ABC и — прямоугольные, следовательно, они вписаны в одну и ту же окружность с диаметром AB. Таким образом, вписанные угль и опираются на одну и ту же дугу, то есть они равны. Но
(угль между диагональю и стороной квадрата). Следовательно, и так как каждый из них равен Таким образом, треугольники DAB и подобны. Отсюда
Теперь можно найти
Получается, что каков 6ы ни был исходный прямоугольный треугольник ABC.
Ответ: при любом значении
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Мальчики и девочки образовали хоровод таким образом, что число детей, у которых сосед справа – того же пола, равно числу детей, у которых сосед справа — другого пола. Каково может быть число всех детей в хороводе?
Пусть n — число детей, справа от которых стоит ребенок другого пола, а m — число детей, справа от которых стоит ребенок того же пола. Изначально то есть общее количество детей четно. Будем менять местами двух рядом стоящих детей так, чтобы мальчики собрались все подряд с одной стороны хоровода, а девочки с другой. Тогда n станет равно 2. При каждой такой перестановке детей числа n и m либо не меняются, либо одно из них увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Это значит, что остаток от деления разности на 4 не меняется. Изначально этот остаток был равен 0.
Если всего детей и то Тогда
Для того, чтобы остаток от деления на 4 был равен нулю, надо, чтобы k делилось на 2. То есть общее число детей должно быть крат но 4.
Ответ: любое натуральное число, кратное четырем.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Каждая сторона треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярна какой-либо стороне исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника? Каково отношение площадей исходного и образованного треугольников?
Пусть точки K, L, M лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC правильного треугольника ABC, причем KL перпендикулярна BC, LM перпендикулярна AC и MK перпендикулярна AB.
1) Тогда
Так же можно показать, что значит, треугольник KLM равносторонний. Прямоугольные треугольники AKM, BLK
(как катет, лежащий против угла 30°), то Аналогично, и
2) Пусть Тогда сторона исходного треугольника равна а сторона вписанного то есть в раз меньше. Поскольку площади равносторонних треугольников относятся друг к другу, как квадраты сторон, то площадь вписанного будет в 3 раза меньше.
Ответ: 1) 1 : 2; 2) 3 : 1.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Множество M состоит из n чисел, n нечетно, Оно таково, что при замене любого его элемента на сумму остальных элементов из M сумма всех n элементов не изменяется. Найдите произведение всех n элементов множества M.
Пусть Заменим элемент на сумму остальных. Тогда
Рассуждая аналогично для других элементов, получаем, что
Таким образом, все элементы множества равны друг другу. Поскольку при заме не одного слагаемого сумма не изменяется, то это слагаемое должно быть равно тому, на что оно заменяется, то есть
С учетом равенства элементов получаем следовательно, Тогда произведение всех чисел множества M
Ответ: 0.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Имеется 4 числа, не во из которых одинаковы. Если взять любые два из них, то отношение суммы этих двух чисел к сумме двух других чисел будет равно одному и тому же значению k. Найдите значение k. Укажите хотя бы одну четверку чисел, удовлетворяющих условию. Опишите все возможные четверки таких чисел и выясните, сколько их.
Пусть — такие числа. Запишем соотношения для сумм двух чисел парами:
Положим и Тогда из (2) получим откуда
Такие же значения получим, анализируя соотношения (3) и (4).
Если то уравнения (2)−(4) принимают вид
откуда находим общее решение
Этот случай не соответствует условию (все числа получились равными).
Если то каждое из уравнений (2)−(4) принимает вид
и общим решением является
Ответ: Множество наборов бесконечно.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Финансовый аналитик энергетической компании после сложных расчетов с применением математических методов вычислил, что прибыль компании за 2016 год составила S миллионов рублей, где
Совет директоров не удовлетворился этими сведениями и попросил аналитика указать не формулу вычисления S, а результат, то есть конкретное число. Через 11 минут число S было получено. Каково оно?
Заметим, что и выполним преобразования:
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Дан квадратный трехчлен имеющий ровно один корень. Найдите этот корень, если известно, что и многочлен имеет ровно один корень.
Пусть — единственный корень многочлена Тогда функция сохраняет знак во всех точках и только Следовательно, корнем многочлена
является только такая точка что
Получаем уравнение с параметрами
Так как по условию то и
Ответ:
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
На тепловой электростанции запас газа ежемесячно меняется следующим образом. Если в текущем месяце запас равен то в следующем месяце он будет равен Может ли запас газа оказаться одинаковым в какие-то два различных месяца? Если это возможно, то какое значение имеет запас, одинаковый для двух разных месяцев?
Пусть
где При этом
Уравнение принимает вид
Находим
Подставляя и получаем
Ответ: для любых двух различных месяцев возможен одинаковый запас газа, он равен
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Установок 3 типов всего не более 200. Установок типа 2 в 4 раза больше, чем типа 1, число установок типа 3 кратно числу установок типа 1. Если бы установок типа 3 было в 5 раз больше, то их было бы на 99 больше, чем установок типа 2. Найдите число установок каждого типа.
Если x1, x2, x3 — количества установок типов 1, 2, 3, то условия представляются соотношениями
Из (2)−(4) получаем откуда следует, что и
Если то это невозможно, так как k целое.
Если то это невозможно.
Если то все условия выполняются.
Если то это невозможно.
Если то это невозможно.
Если то не выполнено не равенство (1).
Ответ: 9, 36, 27.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Окружность которая касается параболы в ее вершине, имеет диаметр 1. Каждая из последующих
Пусть — радиус n-ой окружности,
Тогда центр
Уcловие касания этой окружностью ветвей параболы означает единственность решения уравнения
После раскрытия скобок и приведения подобных уравнение приводится к виду
Его дискриминант должен 6ыть равен нулю. Получаем
откуда Так как то и т. д. по индукции получаем
Поэтому
Ответ: 2016,5.
Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
---|---|---|
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
Наверх