РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2072 Добавить в вариант

Опишите все выпуклые n-угольники, углы $альфа _1,..., альфа _n$ которых удовлетворяют соотношению

$синус в степени n альфа _1 плюс синус в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка альфа _2 плюс ... плюс синус альфа _n минус n=0.$

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение, очевидно, эквивалентно системе

$система выражений синус альфа _1=1, синус альфа _2=1, умножить на s синус альфа _n=1. конец системы .$

Следовательно, все углы  — прямые, поскольку для выпуклого многоугольника $0 меньше альфа _k меньше Пи$ $левая круглая скобка k=1, \ldots, n правая круглая скобка .$ Таким выпуклы м n-угольником может быть только прямоугольник $левая круглая скобка n=4 правая круглая скобка .$

Ответ: это прямоугольники.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь