Всего: 139 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–139
Добавить в вариант
Головастики триасовой дискоглоссы имеют по пять ног, а у головастиков саблезубой лягушки отрастает несколько хвостов (у всех одинаковое количество). Сотрудник парка юрского периода зачерпнул вместе с водой несколько головастиков. Оказалось, что всего у пойманных было 100 ног и 64 хвоста. Сколько же хвостов имеет каждый головастик саблезубой лягушки, если все пятиногие головастики имеют один хвост, а все многохвостые — четыре ноги?
и 
Кроме того, 
следовательно, k крат но 5. Умножим теперь второе уравнение системы на 5 и вычтем из результата первое. Получим 
или 
или 
Но 
не кратно 5. Решений нет. 
Но 
не кратно 10. Решений снова нет.
находим 
и 
является решением, обозначим выражение в левой части уравнения как 
Влево й част и при этом ровно 
слагаемых. Каждое слагаемое кроме первого заменим меньшим его положительным числом 
Тогда 
Число x неизвестно, но известно число 
а) Выразите через A числа 
для 
б) Выясните, при каких A и x выполняются равенства 
с) При каких значениях x (и, соответственно, A) количество арифметических операций для вычисления 
минимально? Вычислите при найденных значениях x величину
тогда 
откуда 
то 
Покажем, что условия 
невозможны. Если 
то 
Если же 
то 
Этим значениям A соответствуют 
В этом случае нет необходимости вычислять степени и вычисления сводятся к одному сложению. Соответствующее значение 
или 
На тепловой электростанции запас газа всегда остается положительным и ежемесячно меняется следующим образом. Если в текущем месяце запас равен 
то в следующем месяце он будет равен 
Может ли запас газа в какой-то месяц составить точный квадрат запаса в другом месяце? Если это возможно, то при каком значении запаса и в какие месяцы?
—
и 
Простой проверкой (попробовав явно первые месяцы) получаем что 
для четных n, 
для нечетных n. 
(решение 
отбрасываем); 
(решение 
отбрасываем, т. к. 
(решение 
отбрасываем);
(решение 
отбрасываем, т. к. 
в любые два нечетных месяца 
в любой четный и любой нечетный 
содержащий искомую точку O (см. рис. ниже). Площади треугольников 
и 
относятся друг к другу так же как длины отрезков 
к 
(т. к. имеют общую высоту, опущенную из т. O к прямой, содержащей названные отрезки). То же самое верно для 
и 
Поскольку 
а 
составлен из 
то 
содержащего точку O, получаем, что 
делящую отрезок BC в отношении 1 : 3 (считая от B) и точку 
делящую отрезок AC в отношении 1 : 2 (считая от A). Пересечение отрезков 
и 
имеет дискриминант равный 100. Сколько корней имеет уравнение 
получается из трафика функции 
сдвигом на 10 вправо вдоль оси абсцисс.
где 
— больший корень уравнения 
Поэтому 
и, значит, график функции 
также симметричен относительно этой прямой. Поэтому если 
то корнем является и 
с учётом корня 
Числовая характеристика x некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения 
Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.
заметив, что эта функция нечетная, обращается в 0 ровно в трех точках 
(1; −2) является точкой минимума, а (−1; 2) является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при 
и неограниченно убывает при 
Таким образом, число корней равно: 3, если 
2, если 
1, если 
Единственный корень есть в точности при 
Из графика видно, что 
Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства 
при 
и 
при 
Замечая, что 
при 
а также 
при 
находим 
Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточной) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума. 
и тогда 
и 
Подставим эти значения во второе уравнение: 
где 
то 
При других K решений нет.Две равные окружности пересекаются в точках P и Q. Произвольная прямая, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B, а касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковыми углами.
и 
Следовательно, 
ч. т. д.
При обработке числовых данных часто приходится вычислять среднее арифметическое
и решать уравнения, содержащие среднее арифметическое. Найдите все конечные (состоящие из конечного числа элементов) числовые множества X такие, что для любых a и b из X множество X содержит корень x уравнения 
(без ограничения общности). Для уравнения 
находим, согласно (1), 
Затем для уравнения 
получаем 
после чего рассматриваем уравнение 
и получаем 
Продолжая таким же образом, получаем последовательность решений 
при 
то, преобразуя равенство, получим 
это невозможно. Итак, множество X содержит бесконечное подмножество-последовательность (3), следовательно, множество X бесконечно.
Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдёт в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП 
Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП. Какой линией на плоскости описывается строящаяся дорога? Введите подходящую систему координат и найдите уравнение линии, описывающей дорогу, в этой системе координат; определите тип линии.
вдоль ЛЭП. Пусть для определенности дорога проходит в полуплоскости 
Тогда ЛЭП будет соответствовать прямая 
—
а расстояние между точкой M и ЛЭП 
Три электрогенератора имеют мощности x1, x2, x3, суммарная мощность всех трех не превосходит 2 МВт. В энергосистеме с такими генераторами некоторый процесс описывается функцией
Найдите максимальное и минимальное значение значения этой функции.
Докажем два неравенства: 
и 
и 
верно 
Итак, 
при 
На кондитерской фабрике решили разработать новый сорт конфет. По технологическим соображениям конфета должна иметь вид цилиндра объемом V и с площадью поверхности S. При каких условиях на V и S любые два цилиндра с такими параметрами равны?
— высота и радиус некоторого цилиндра. Тогда 
и 
т. е при 
Таким образом, если 
то цилиндр задаётся однозначно. 
(или, что эквивалентно, 
цилиндр не определен однозначно.
Рассмотрим функцию 
Заметим, что 
и 
и 
что 
и 
и 
равны S, а также равны и их объёмы. Таким образом, найдено два различных цилиндра с одними и теми же значениями S, V. 
с целыми коэффициентами обладает свойствами 
где число k целое. Найдите это число k.
делится на 
для любых целых a и b. Получаем, что 
Решением полученного уравнения является 
На каждую грань куба установлена правильная 4-угольная пирамида, основанием которой является эта грань куба. Все пирамиды равны.
а) Могут ли боковые ребра трех пирамид, исходящие из одной вершины куба, лежать в одной плоскости? Если это возможно, найдите высоты таких пирамид, выразив их через длину α ребра куба. Если это невозможно, приведите доказательство.
б) Могут ли указанные в п. а) тройки ребер лежать в плоскостях (каждая тройка — в своей плоскости) одновременно для всех вершин куба?
лежит в плоскости AXY, основание пирамиды с вершиной 
—
высота пирамид равна h. Тогда координаты вершин пирамид будут 
(т. е. на диагональ AB проецируется вершина 
В силу симметрии сумма векторов 
будет лежать в плоскости ABY. В этой же плоскости лежит вектор 
Если вершины O1, O2, O3 лежат в одной плоскости, то пересечением этой плоскости с плоскостью ABY должна быть прямая.
коллинеарные.
откуда либо 
либо 
Первый корень не подходит согласно геометрическому смыслу h. 
Ответ на вопрос Б) очевиден в силу симметрии. 
в натуральных числах.
получим уравнение 
следовательно, 
т. e. 
уравнение принимает вид 
решений оно не имеет, а подставляя 
получим решения 
и 
соответственно. При 
решений нет, так как в этом случае 
(доказательство по индукции). 
При 
Докажем, что для этих 
и 
выполняются неравенства 
и 
а при 
имеем:
Имеются три электрогенератора, их мощности 
меньше 1 МВт. При анализе энергосистемы с такими генераторами выяснилось, что для осуществления некоторого процесса необходимо условие
Какова при его выполнении максимальная совместная мощность всех трех генераторов?
на промежутке 
Функция выпукла вниз (видно на графике), поэтому 
линейна (никуда не выпукла) на интервале X тогда и только тогда, когда для любых 
выполняется равенство 
выпукла вниз на X, следовательно
выпукла вверх на X, следовательно
в одной системе координат с одинаковыми 
и значениями 
Отсюда получим требуемое неравенство 
кратно 7, 
Умножим равенство 
на 4 и преобразуем результат: 
откуда 
кратно 7, 
где 
и 
получаем 
и 
где 
Всего имеется 16 частных решений: 
то 
то 
то 
В царстве Колдовской Энергии на плоской равнине стоит заколдованная трансформаторная будка: наблюдателю, смотрящему параллельно земле, она видна только под углом 45°. В поперечном сечении будка квадратная со стороной L локтей. Опишите геометрическое место точек на равнине, из которых будка видна, и определите минимальное и максимальное расстояние, с которого видна заколдованная будка. Углом, под которым фигура F видна из точки P, называется наименьший угол с вершиной P, содержащий фигуру F. В данном случае этот угол расположен в плоскости поперечного сечения будки.
расположена н а окружности с центром в вершине прямоугольного равнобедренного треугольника O, гипотенуза которого совпадает с заданным отрезком AB (см. верх. рис).
