Всего: 139 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Про положительные числа 
известно, что 
Найдите наименьшее значение выражения 
Положим 
Тогда
Поэтому
По неравенству Коши для среднего арифметического и среднего геометрического
и 
следовательно,
Тогда
Неравенства Коши
и 
обращаются в равенства при 
С учётом этого условия не равенство
обращается в равенство при 
Таким образом, наименьшее значение выражения 
равное 
достигается при
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Для каждого натурального 
пусть 
означает число решений уравнения 
на интервале 
Найдите явный вид зависимости от n и определите, сколько раз принимает значение 2017.
По формуле разности синусов
что обращается в 0 при 
или при 
Из первого уравнения получаем
для любых целых j. Поскольку 
то 
Таким образом, в этом случае есть 
решений, где [a] обозначает целую часть числа а.
Второе уравнение имеет решение 
или 
для любых целых k. Поскольку то 
В этом случае есть
решений.
Однако среди решений первого и второго уравнения могут быть одинаковые, необходимо найти их. Решения будут совпадать, если
что эквивалентно делимости нацело числителя на знаменатель. При чётных n это невозможно, так как числитель — нечётное число, а знаменатель — чётное.
Если 
тогда знаменатель кратен 8, а числитель кратен только 2, то есть этот случай также невозможен.
Рассмотрим оставшийся случай Вычтем из второго выражения удвоенное первое: то есть Отсюда следует, что то есть Значит, единственный случай, когда Таким образом, для каждого В итоге, формула для Поскольку Ответ: a) 
Условие «k-целое число» в эквивалентно 
и 
взаимно просты. Действительно, если предположить, что у них есть общий делитель d, 
и 
Следовательно, 
делится на 
при этом 
и с учётом нечётности 
Поэтому 
но 
делится на 
Это случай, когда
совпадает одно решение первого и второго уравнения. принимает вид: 
то 
и 
Значит, значение 2017 принимается 2 раза. 
б) 2 раза.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
б) 2 раза.На стороне AB треугольника ABC взята точка M. Она начинает двигаться параллельно BC до пересечения с AC, затем она движется параллельно AB до пересечения с BC и так далее. Верно ли, что через некоторое число таких шагов точка M вернется в исходное положение? Если это верно, то каково минимальное число шагов, достаточное для возврата?
Примем длину стороны AB за 1, и пусть точка M отстоит на a от точки B. Из свойств параллелограмма следует равенство маленьких треугольников, поэтому через 3 шага точка M окажется на расстоянии a от точки А, то есть на расстоянии
от точки B. Еще через 3 шага точка окажется на расстоянии 
от точки B, то есть вернется в исходное положение.
Особый случай — при 
Тогда 
и возврат произойдет уже через 3 шага.
Ответ: верно, достаточно 3 шагов, если точка M делит сторону AB пополам, 6 шагов в остальных случаях.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Множество M состоит из n чисел, n нечетно, 
Оно таково, что при замене любого его элемента на сумму остальных 
элементов из M сумма всех n элементов не изменяется. Найдите произведение всех n элементов множества M.
Пусть 
Заменим элемент 
на сумму остальных. Тогда
Рассуждая аналогично для других элементов, получаем, что 
и 
Таким образом, все элементы множества равны друг другу. Поскольку при замене одного слагаемого сумма не изменяется, то это слагаемое должно 6ыть равно тому, на что оно заменяется, то есть
С учетом равенства элементов получаем 
следовательно, 
Тогда произведение всех чисел множества M
Ответ: 0.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Числа x, y, z таковы, что отношения 
принимают одинаковое значение. Найдите его.
Пусть k−значение такого отношения. Тогда
откуда 
и 
и 
Складывая эти равенства, получаем
Возможны два случая:
или
В случае (1) получаем 
и
всем условиям удовлетворяют, например, числа 
и 
В случае (2) всем условиям удовлетворяют, например,
Ответ: −1 или 2.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Маша, готовясь принять гостей разложила 13 апельсинов и 3 яблока в 4 вазы, по 4 фрукта в каждую. Затем ее сестра Саша решила изменить состав фруктов в вазах. Она забирала одновременно по одному фрукту из каждой вазы и заменяла каждый фрукт на противоположный: яблоко на апельсин, а апельсин — на яблоко. Или же она заменяла на противоположные все четыре фрукта из одной вазы. Могла ли Саша получить во всех 4 вазах одновременно одинаковые фрукты: только яблоки или только апельсины?
Если интерпретировать вазы и фрукты в вазах как таблицу 4 × 4, каждому апельсину поставить в соответствие +1, а яблоку −1, то замена Сашей фруктов на противоположные равносильна смене знака в таблице у всех чисел в одной строке или в одном столбце. При этом знак произведения всех чисел строки или столбца меняться не будет, а, следовательно, и знак произведения чисел в таблице. Изначально произведение равно −1. А если все фрукты будут одинаковые, то произведение будет равно 1. А это невозможно.
Ответ: не сможет.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Решите уравнение 
в котором 
означает целую часть числа x.
Если представить произвольное число x в виде 
где m — целое, 
то 
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
Поскольку то
Рассмотрим функцию 
Это парабола с корнями 0 и 1 и с ветвями, направленными вверх. Поэтому полученное двойное неравенство может выполняться на некотором отрезке, расположенном левее точки 
и на некотором другом отрезке, расположенном правее точки 
Рассмотрим их по очереди.
Пусть 
Легко вычислить (устно), что
Следовательно, искомые 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид
Еro решением (отрицательным) является 
При 
аналогично вычисляем (также устно)
Следовательно, искомые 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид
Его решением (теперь положительным) является 
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Транспортная компания «Пианогруз» специализируются на перевозке тяжелых музыкальных инструментов. После того, как в автомашине компании были оборудованы места для грузчиков, остался грузовой отсек в форме квадрата со стороной 3 м. Изобразите в координатах «длина − ширина» множество всех точек, которые могут задавать размеры прямоугольного инструмента, помещающегося в грузовой отсек. Считайте, что оборудование кузова позволяет закрепить инструмент в любом положении, а ограничения по высоте отсутствуют.
1) Поскольку наклоненный (поставленный на ребро) инструмент в проекции на дно отсека образует прямоугольник, то достаточно рассмотреть плоскую задачу о прямоугольнике внутри квадрата. Пусть длина инструмента равна l, ширина h. Обозначим длину стороны квадратного кузова a.
Сначала рассмотрим очевидный случай, когда инструмент помещается вдоль (или, что то же, поперек) кузова. В этом 
2) Теперь рассмотрим ситуацию, когда 
2a) Пусть длинная сторона инструмента (прямоугольника) KLMN параллельна диагонали квадрата (см. рис. 2а) Поскольку 
а MN перпендикулярна AC, то 
—
и равенства этих треугольников друг другу следует, что 
Таким образом, при KN параллельной AC стороны любого вписанного в квадрат прямоугольника должны удовлетворять соотношению 
2б) Пусть теперь стороны прямоугольника KLMN не параллельны диагоналям квадрата (см. рис. 26).
Пусть 
Тогда
(как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Следовательно, прямоугольные треугольники NKB, KLC подобны, а 
(по гипотенузе и острому углу).
Пусть коэффициент подобия 
и 
равен k. Если обозначить через u и w стороны MA
откуда
Если 
то сокращая, получаем 
т. е. треугольники MAN и LCK равнобедренные. Если же 
то указанные треугольники равнобедренны по построению. Следовательно, стороны LM и KN параллельнs диагонали AC.
Таким образом, доказано, что все четыре вершины вписанного в квадрат прямоугольника лежат на сторонах квадрата тогда и только тогда, когда стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.
3. Зафиксируем длину стороны l и выясним, какое максимальное значение может принимать ширина h при различных положениях прямоугольника. Для этого будем мысленно вращать его, начиная с положения, параллельного диагонали. На рис 3 отмечено, как будут двигаться его вершины.
Введем оси координат Cx, Cy показано на рисунке. Рассмотрим диагональ LN. Квадрат ee длины можно найти из прямоугольного треугольника (пунктирного), один катет которого равен a, другой равен разности ординат точек L и N, которая при вращении прямоугольника у уменьшается.
Таким образом, диагональ LN будет уменьшаться, и, следовательно, будет уменьшаться ширина h. Поэтому максимальная ширина соответствует исходному положению, при котором 
Остается изобразить в координатных осях 
треугольник, отсекаемый в первой четверти прямой 
и совместить два полученных множества.
Ответ: искомое множество точек показано ниже вертикальной штриховкой.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Финансовый аналитик энергетической компании после сложных расчетов с применением математических методов вычислил, что прибыль компании за 2016 год, выраженная в миллионах рублей, удовлетворяет уравнению
Должен ли совет директоров компании поверить этому?
Найдем решения уравнения из условия задачи. Положим 
тогда 
и 
По условию, 
следовательно,
Решая это квадратное уравнение относительно xy и, учитывая, что 
получаем 
Теперь х и у легко найти из системы уравнений
Таким образом, уравнение имеет два решения 
и 
Но прибыль не может одновременно принимать два разных значения.
Ответ: нет, нельзя верить двусмысленным финансовым решениям.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
На тепловой электростанции запас газа всегда остается положительным и ежемесячно меняется следующим образом. Если в текущем месяце запас равен x м3, то в следующем месяце он будет равен 
м3.
Пусть 
— запас спустя n месяцев после некоторого фиксированного. Тогда
Далее функции в последовательности 
будут циклически повторяться, последовагельность периодическая с периодом 3, имеется всего три вида функций:
Если номера m и n имеют одинаковый остаток при делении на 3, то запасы 
и через m и n месяцев одинаковы при любых допустимых 
может быть отрицательным, это значит, что запаса нет, а есть не достаток величины
Каждое из них преобразуется к квадратному уравнению 
с отрицательным дискриминантом. Теперь рассмотрим условие положительности запаса. Из неравенств 
и 
получаем, что 
Однако в указанном диапазоне
Поэтому условие положительности может быть выполнено только если месяцев не более двух. Но для двух соседних месяцев равенство запасов невозможно.
Ответ: нет.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Найдите все решения уравнения
Уравнение имеет вид
Пусть k — натуральное число, 
Подставим 
в левую часть уравнения, получим
(остальные слагаемые в левой части (1) обращаются в 0). Введем обозначение
где 
Тогда
и 
Докажем, что
Отметим содержательный смысл чисел 
—
Рассмотрим два способа доказательства формулы (2).
I способ — вывести формулу бинома
и из нее получить (2), полагая 
Рассмотрим выражение
Преобразуем это произведение скобок (сумм 
в сумму произведений. Каждое произведение в такой сумме содержит ровно k множителей, из которых ровно j множителей равны t, а остальные 
множителей равны 1, при этом 
Количество слагаемых вида 
есть ровно 
это количество выбрать ровно ј скобок 
из которых в произведение берется в качестве множителя слагаемое t. Таким образом, формула (3) доказана.
Замечание. Во многих школах формулу бинома проходя в 10-м и даже 9-ом классе. Если участник знает ее и использует, вывод не требуется: тот, кто не знает, может быстро ее вывести, как показано здесь, а может быть, другим способом (например, математической индукцией по параметру k).
II способ. При нечетных k в (1) получаем
что доказывает (2) при нечетных k.
Остается обосновать (2) при четных k. Для этого докажем тождество
(с его помощью строится треугольник Паскаля). Рассмотрим 
-элементное множество 
k-элементное множество 
и все 
Разобьем их на две непересекающиеся группы:
1) содержащие 
2) не содержащие 
Сочетания вида 1) — это 
-сочетания
их количество равно 
Сочетания вида 2) есть их число равно 
Количества сочетаний вида 1) и вида 2) в силу непересечения групп дают в сумме Тождество (4) доказано.
Теперь рассмотрим четное k и сумму из левой части (2). Ее представим в виде
После элементарных преобразований останется
то есть (2) верно и при четных k.
Можно даже при втором способе не разделять случаи четного и нечетного k, а вывести (2) индукцией по k.
Таким образом, 
—
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Господин Бур Жуй, большой поклонник фэн-шуй, получил в наследство дом, представляющий собой в плане прямоугольный треугольник с катетами a и b. К каждой стороне треугольника он пристроил квадратные веранды. Те 6 вершин этих трех квадратов которые не совпадают с вершинами треугольника, образуют шестиугольник. В этот шестиугольник и был в итоге превращен дом, который построил господин Бур Жуй. Найдите его площадь. При каком соотношении катетов a и b отношение площади нового дома к площади исходного будет минимальным?
а) Если обозначить 
и 
то 
и 
Поэтому площади треугольников 
Треугольники 
и ABC равны (по двум катетам). Следовательно, равны их площади. Итого, площадь всего шестиугольника равна
б) Осталось найти
Пусть 
Будем искать k. Получаем новую задачу поиска
Решение этой задачи известно. Сумма двух взаимно обратных величин всегда больше либо равна двум. Минимум (равный 2) достигается при 
Ответ: а) 
б) при 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
б) при Прямоугольный параллелепипед 
составлен из кубиков со стороной 1. Сколько в нем можно выделить различных меньших параллелепипедов из таких кубиков?
Параллелепипед однозначно определяется 3 ребрами, выходящими из одной вершины. Ребро фиксированного направления однозначно определяется 2 точками — началом и концом. Если есть 
точка, то упорядоченную (одно значение всегда меньше другого) пару различных точек из них можно выбрать 
способами. Выбор ребра каждого из 3 направлений не зависит от выбора ребер других направлений, поэтому все такие количества перемножаются Один из такого числа параллелепипедов cовпадает с исходным, поэтому результат надо уменьшить на 1.
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Четыре бригады разрабатывали открытым способом месторождение угля в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. На втором году из-за метеоусловий в течение четырех месяцев работы не велись, а все остальное время н добыче бригады работали поочередно (по одной). Отношение времени работы первой, второй, третьей и четвертой бригад и количества добытого угля соответственно равны: в первый год 4:1:2:5 и 10 млн. т.; во второй год 2:3:2:1 и 7 млн. т; в третий год 5:2:1:4 и 14 млн. т. Сколько угля добыли бы за 4 месяца эти четыре бригады, работая вместе?
Пусть i-я бригада добывает за месяц 
угля. Тогда имеем сиcremy
Сложив удвоенное первое уравнение с утроенным вторым и вычитая третье уравнение, получим
Тогда
Ответ: 12 млн. т.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Окружность единичного радиуса поделили на 
равных частей. Докажите, что расстояние от центра окружности до хорды, стягивающей одну такую часть, составляет ровно половину от величины
Изобразим (вне масштабно) 
составляющий одну -ю
Ясно, что
В условии дана формула для OH. Из прямоугольного треугольника OHB с гипотенузой 
и с острым углом 
получаем, что
Таким образом, требуется доказать, что
Обобщим требуемую формулу (домножив предварительно на два)
и докажем ее по индукции. Тогда при 
будем иметь требуемое. База индукции при 
очевидна:
Индуктивный переход будет заключаться в том, чтобы доказать, что из верности формулы (*) будет следовать верность формулы
Преобразуем правую часть, используя (*)
Обозначим 
Теперь остается доказать соотношение
для угла 
Возводя обе стороны равенства в квадрат и деля на два, получаем известную формулу косинуса половинного угла
Индуктивный переход доказан. Следовательно, формула (*) верна при любом 
Остается положить 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
На факультете ядерного дирижаблестроения подсчитали, что в процентном отношении мальчиков на первом курсе больше, чем мальчиков на всем факультете. Кого (в процентном соотношении) больше — первокурсников среди всех мальчиков факультета или всех студентов первого курса среди всех студентов факультета?
Введем обозначения:
m — количество мальчиков на 1 курсе,
M — количество всех мальчиков на факультете,
k — количество студентов на 1 курсе,
K — количество студентов на всем факультете.
Согласно условию, 
Требуется сравнить 
Из условия по свойству пропорции получаем, что левая дробь больше.
Ответ: доля первокурсников среди всех мальчиков факультета больше, чем доля всех студентов первого курса среди всех студентов факультета.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Может ли число 
делиться на 2019 при каких-либо натуральных n? Либо найдите такое минимальное n, либо докажите невозможность.
Разложим делитель: 
Число 
дает при делении на 3 остатки 0 и 1 (что легко проверить, например, составляя таблицу остатков).
| n |  |  |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
Поэтому число 
будет давать при делении на 3 остатки 0 и 2. Следовательно, 
не кратно 3, а, значит, не делится на 2019.
Ответ: таких n не существует.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Два пловца проводят тренировки на карьере прямоугольной формы. Первому удобнее выходить на угол карьера, поэтому он проплывает по диагонали до противоположного угла и обратно. Второму пловцу удобнее начинать из точки, которая делит один из берегов карьера в отношении 
Он проплывает о четырехугольнику, посещая по одной точке на каждом берегу, и возвращается к месту старта. Может ли второй пловец так выбрать точки на трех других берегах, чтобы его путь был короче, чем у первого? Какое минимальное значение может иметь отношение длины большего пути к меньшему?
Изобразим прямоугольный карьер ADCD и вписанный в него четырехугольный маршрут второго пловца NLMK.
Отразим симметрично чертеж сначала относительно стороны CD, затем относительно стороны 
наконец, относительно стороны 
По построению отрезки ND и 
равны и параллельны друг другу. Следовательно, 
— параллелограмм, и его сторона 
равна удвоенной диагонали исходного прямоугольника AC (т. е. длине пути первого пловца).
Ясно, что сумма длин отрезков NK, 
и 
равна периметру четырехугольника NLMK (т. е. длине пути второго пловца).
Но длина ломаной 
не меньше длины отрезка 
являющегося кратчайшим расстоянием между точками N и 
Отсюда следует, что путь второго пловца не может быть меньше (короче) пути первого.
Пути можно сделать равными, если перенести (пользуясь симметрией построения) точки пересечения отрезка со сторонами DC, 
и 
на исходный прямоугольник. (Можно показать, что получившаяся таким образом фигура будет параллелограммом, но это не входит в постановку задачи.)
При таком построении пути пловцов будут равны и их отношение будет равно 1.
Заметим, что в рассуждениях нигде не использовано то, в какой пропорции исходная точка N делит соответствующую сторону прямоугольника AD.
Ответ: путь второго пловца не может быть короче, чем у первого; минимальное отношение длины большего пути к меньшему равно 1.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
В кладовой Пончика и в кладовой Сиропчика запасено суммарно 100 кг варенья. На поедание своих запасов у каждого коротышки ушло одинаковое время несмотря на то, что они обладают разной прожорливостью. «Если бы мой запас был равен твоему, то я бы съел его за 45 дней» — заявил товарищу Пончик. «А если бы мой запас был равен твоему, я бы съел его всего за 20 дней» — ответил Сиропчик. Какое количество варенья и с какой прожорливостью съел каждый из коротышек? (Не забудьте указать единицы измерения.)
Пусть Пончик имеет x кг варенья, а Сиропчик — в n раз больше, т. е. 
Тогда прожорливость Пончика равна 
а прожорливость Сиропчика 
Тогда равенство время поедания запасов дает уравнение
откуда
следовательно, 
Из уравнения
Таким образом, у Пончика было припасено 40 кг варенья, а у Сиропчика — 60 кг. Их прожорливость равна соответственно
и 
Ответ: Пончик: 40 кг варенья, 
Сиропчик: 60 кг варенья, и 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Сиропчик: 60 кг варенья, и Верно ли неравенство
Рассмотрим величину
Ясно, что 
Возводя неравенство 
в квадрат, получаем
или, что то же
Несложно проверить, что 
Поэтому из неравенства 
следует неравенство для любого номера n.
Остается проверить, что 
Это неравенство верно. Теперь переходя от неравенства для к неравенству 
Ответ: да, верно.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Наверх