Окружность единичного радиуса поделили на 
равных частей. Докажите, что расстояние от центра окружности до хорды, стягивающей одну такую часть, составляет ровно половину от величины
Решение. Изобразим (вне масштабно) 
составляющий одну -ю часть окружности. Обозначим его 
Ясно, что
В условии дана формула для OH. Из прямоугольного треугольника OHB с гипотенузой 
и с острым углом 
получаем, что
Таким образом, требуется доказать, что
Обобщим требуемую формулу (домножив предварительно на два)
и докажем ее по индукции. Тогда при 
будем иметь требуемое. База индукции при 
очевидна:
Индуктивный переход будет заключаться в том, чтобы доказать, что из верности формулы (*) будет следовать верность формулы
Преобразуем правую часть, используя (*)
Обозначим 
Теперь остается доказать соотношение
для угла 
Возводя обе стороны равенства в квадрат и деля на два, получаем известную формулу косинуса половинного угла
Индуктивный переход доказан. Следовательно, формула (*) верна при любом 
Остается положить 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями. |
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. |
