РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2269 Добавить в вариант

Головастики триасовой дискоглоссы имеют по пять ног, а у головастиков саблезубой лягушки отрастает несколько хвостов (у всех одинаковое количество). Сотрудник парка юрского периода зачерпнул вместе с водой несколько головастиков. Оказалось, что всего у пойманных было 100 ног и 64 хвоста. Сколько же хвостов имеет каждый головастик саблезубой лягушки, если все пятиногие головастики имеют один хвост, а все многохвостые  — четыре ноги?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через x количество хвостов у головастика саблезубой лягушки. Пусть было поймано n пятиногих и k многохвостых головастиков. Подсчет общего количества ног и хвостов дает уравнения

$левая фигурная скобка \begin{align 5 n плюс 4 k=100, n плюс x k=64. \endarray.$

Из первого уравнения имеем $n меньше или равно дробь: числитель: 100, знаменатель: 5 конец дроби =20$ и $k меньше или равно дробь: числитель: 100, знаменатель: 4 конец дроби =25 .$ Кроме того, $4 k=5 левая круглая скобка 20 минус n правая круглая скобка ,$ следовательно, k крат но 5. Умножим теперь второе уравнение системы на 5 и вычтем из результата первое. Получим

$левая круглая скобка 5 x минус 4 правая круглая скобка k=64 умножить на 5 минус 100=220=2 умножить на 2 умножить на 5 умножить на 11.$

Поскольку слева стоит произведение двух натуральных чисел и с учетом полученных ограничений, находим, что k может принимать только значения $k=5$ или $k=10$ или $k=20.$

Подставим их по очереди в систему уравнений. При $k=5$ имеем

$левая фигурная скобка \begin{align 5 n плюс 20=100, n плюс 5 x=64, \endarray.$

откуда $n=16 .$ Но $64 минус 16=48$ не кратно 5. Решений нет.

При $k=10$ получаем

$левая фигурная скобка \begin{align 5 n плюс 40=100, n плюс 10 x=64, \endarray.$

откуда $n=12 .$ Но $64 минус 12=52$ не кратно 10. Решений снова нет.

Наконец, при $k=20$ находим

$левая фигурная скобка \begin{align 5 n плюс 80=100, n плюс 20 x=64, \endarray.$

откуда $n=4$ и $n=3.$

Ответ: 3 хвоста.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Текстовые задачи на целые числа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь