На кондитерской фабрике решили разработать новый сорт конфет. По технологическим соображениям конфета должна иметь вид цилиндра объемом V и с площадью поверхности S. При каких условиях на V и S любые два цилиндра с такими параметрами равны?
Решение этой задачи разделим на две части: нахождение крайнего отношения между S и V и доказательство того, что в остальных случаях цилиндр может оказаться неединственным.
а) Пусть 
— высота и радиус некоторого цилиндра. Тогда 
и 
Построим экстремальную оценку. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим трёх чисел имеем
Причём равенство достигается только при 
т. е при 
Таким образом, если 
то цилиндр задаётся однозначно.
б) Покажем, что при 
(или, что эквивалентно, 
цилиндр не определен однозначно.
Пусть 
Рассмотрим функцию
при 
Заметим, что
и 
По предположению
Поскольку функция 
непрерывна, найдутся такие 
и 
что 
Примем теперь
и 
Подстановкой убеждаемся, что площади полной поверхности каждого цилиндра (с радиусами основания 
и 
равны S, а также равны и их объёмы. Таким образом, найдено два различных цилиндра с одними и теми же значениями S, V.
Ответ: при условии 