РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2202 Добавить в вариант

Окружность $S_1,$ которая касается параболы $y=x в квадрате$ в ее вершине, имеет диаметр 1. Каждая из последующих окружностей S₂, S₃, S₄, ... касается внешним образом предыдущей окружности и ветвей параболы. Найдите радиус окружности S₂₀₁₇.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $r_n$   — радиус n-ой окружности,

$Q_n=r_1 плюс r_2 плюс \ldots плюс r_n.$

Тогда центр $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ -ой окружности находится в точке с координатами $левая круглая скобка 0, 2 Q_n плюс r_n плюс 1 правая круглая скобка ,$ а ее уравнение имеет вид

$x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус левая круглая скобка 2 Q_n плюс r_n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате =r_n плюс 1 в квадрате .$

Уcловие касания этой окружностью ветвей параболы $y=x в квадрате$ означает единственность решения уравнения

$y плюс левая круглая скобка y минус левая круглая скобка 2 Q_n плюс r_n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате =r_n плюс 1 в квадрате .$

После раскрытия скобок и приведения подобных уравнение приводится к виду

$y в квадрате минус левая круглая скобка 4 Q_n плюс 2 r_n плюс 1 минус 1 правая круглая скобка плюс 4 Q_n в квадрате плюс 4 Q_n r_n плюс 1=0 .$

Его дискриминант должен 6ыть равен нулю. Получаем

$D= левая круглая скобка 4 Q_n плюс 2 r_n плюс 1 минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 Q_n в квадрате плюс 4 Q_n r_n плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 r_n плюс 1 минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 8 Q_n=0,$

откуда $r_n плюс 1= корень из: начало аргумента: 2 Q_n конец аргумента плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Так как $r_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то $r_2= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $r_3= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ и т. д. по индукции получаем

$r_n плюс 1= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Поэтому $r_2017=2016,5.$

Ответ: 2016,5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь