РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2058 Добавить в вариант

Эстетически совершенным считается прямоугольник, длины $a,b$ сторон которого образуют золотое сечение, т. е. связаны соотношениями $a меньше b$ и $дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: b конец дроби .$

Некий архитектор задумал проект здания в виде прямоугольного параллелепипеда, у которого золотые сечения образуют ширина и длина, длина и высота, а также периметр основания и площадь боковой поверхности. Найдите объем такого параллелепипеда, длину его диагонали и отношение площади боковой поверхности к площади основания.

Спрятать решение

Решение.

Пусть a, b, c ширина, длина и высота здания. Тогда $a меньше b меньше c,$ площадь боковой поверхности равна $S=2 c левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ периметр основания равен $P=2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ площадь основания. По условию

$дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: S, знаменатель: P конец дроби =\Phi . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Из уравнения $\Phi в квадрате =\Phi плюс 1$ находим $\Phi= дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда $\Phi в квадрате = дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ Из (1) находим $c=\Phi,$ $b=1$ и

$a= дробь: числитель: 1, знаменатель: \Phi конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Вычислим объем V, длину диагонали d и отношение площадей:

$V=a b c=1,$ $d= корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка =2,$

$k= дробь: числитель: 2 c левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка , знаменатель: a b конец дроби =2 \Phi левая круглая скобка 1 плюс \Phi правая круглая скобка =4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: $1,2, 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Объём и площадь поверхности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь