В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 25°, от­рез­ки BB₁ и CC₁  — вы­со­ты, точки B₂ и C₂  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мые B₁C₂ и C₁B₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) угла C₁KC₂.

Пря­мая BL  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те его пло­щадь, если из­вест­но, что

Среди все­воз­мож­ных тре­уголь­ни­ков ABC таких, что най­ди­те тот, пло­щадь ко­то­ро­го мак­си­маль­на. Чему равна эта пло­щадь?

Ре­ши­те урав­не­ние:

В ответ за­пи­ши­те ко­рень, если он один, или сумму кор­ней, если их не­сколь­ко.

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний:

По­лу­чив ре­ше­ние в ответ за­пи­ши­те сумму квад­ра­тов:

Ре­ши­те урав­не­ние:

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ответ за­пи­ши­те сумму всех его це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ний.

Най­ди­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень урав­не­ния:

Вы­чис­ли­те зна­че­ние вы­ра­же­ния За­пи­ши­те по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в виде где a и b  — целые, вза­им­но про­стые числа и ука­жи­те в от­ве­те зна­че­ние |a − b|.

Най­ди­те сумму всех дей­стви­тель­ных кор­ней урав­не­ния:

при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [1; 3].

Сколь­ко це­ло­чис­лен­ных кор­ней урав­не­ния

лежит между кор­ня­ми урав­не­ния x² + 12x − 29  =  0.

Среди пер­вых ста эле­мен­тов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 2, 9, 16, ... най­ди­те те, ко­то­рые так же яв­ля­ют­ся эле­мен­та­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 3, 7, 11, ... В от­ве­те ука­жи­те сумму най­ден­ных чисел.

Пер­вый, вто­рой и тре­тий члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии по­пар­но раз­лич­ны и равны тре­тье­му, ше­сто­му и де­ся­то­му чле­нам некой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, а про­из­ве­де­ния эти трех чисел равно 125. Найти пер­вый член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Пять чисел об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Сумма их кубов равна нулю, а сумма их квад­ра­тов  — 224. Най­ди­те наи­боль­шее из этих чисел.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

на ин­тер­ва­ле

Най­ди­те ми­ни­маль­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния если из­вест­но, что

Числа a и b та­ко­вы, что мно­го­член яв­ля­ет­ся квад­ра­том не­ко­то­ро­го дру­го­го мно­го­чле­на. Най­ди­те b.

Най­ди­те наи­боль­шее из целых зна­че­ний a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один целый ко­рень.

Кри­вая, за­дан­ная урав­не­ни­ем пе­ре­се­ка­ет ось Ox в точ­ках A и B, а ось Oy в точке C. Най­ди­те сумму всех зна­че­ний па­ра­мет­ра p, при ко­то­рых центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, лежит на оси Ox.

Най­ди­те все пары целых чисел (x; y), яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния

В от­ве­те ука­жи­те сумму най­ден­ных зна­че­ний x.