РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1523 Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = тангенс в квадрате x плюс 3 тангенс x плюс 6\ctg x плюс 4\ctg в квадрате x минус 1$

на интервале $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

При $x больше 0$ имеем

$t= тангенс x плюс 2 \ctg x больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

(равенство достигается при $x= арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ при этом

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка тангенс x плюс 2 \ctg x правая круглая скобка в квадрате минус 3 левая круглая скобка тангенс x плюс 2 \ctg x правая круглая скобка минус 5 .$

Значит, нужно найти наименьшее значение функции $g левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 3 t минус 5$ при $t больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Функция $g левая круглая скобка t правая круглая скобка$ возрастает при $t больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому искомое наименьшее значение равно

$g левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =3 плюс 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 11,49.$

Ответ: $3 плюс 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 11,49.$

Аналоги к заданию № 1523: 1553 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь